Hahn-Jordan-Zerlegung

In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß, also ein Maß, das positive und negative Werte annehmen kann, in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann.

Sei $(X,\mathcal{A})$ ein Messraum und $\mu\!$ ein signiertes Maß darauf.

Eine messbare Menge $M\in \mathcal{A}$ heißt positiv bezüglich des signierten Maßes $\mu\!$, wenn jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$, $T\in\mathcal{A}$ nichtnegatives Maß hat, also

$\mu(T)\ge 0$;

analog heißt eine messbare Menge $M\in \mathcal{A}$ negativ bezüglich des signierten Maßes $\mu\!$, wenn jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$, $T\in\mathcal{A}$ nichtpositives Maß hat, also

$\mu(T)\le 0$.

Der Zerlegungssatz von Hahn, nach dem österreichischen Mathematiker Hans Hahn, besagt nun, dass für jedes signierte Maß $\mu\!$ eine Zerlegung von $X\!$ in zwei disjunkte messbare Mengen $P, N \in \mathcal{A}$, $X = P \cup N$ existiert, wobei $P\!$ positiv bezüglich des Maßes $\mu\!$ und $N\!$ negativ bezüglich des Maßes $\mu\!$ ist. Die Zerlegung der Menge $A\!$ in einen negativen $N\!$ und einen positiven Teil $P\!$ wird als Hahn-Zerlegung (oder Hahnsche Zerlegung) bezeichnet.

Die Zerlegung ist eindeutig modulo Nullmengen, gibt es also eine zweite Zerlegung $P', N' \in \mathcal{A}$ mit diesen Eigenschaften, so haben die symmetrischen Differenzen das Maß Null:

$\mu(P \triangle P') = \mu(N \triangle N') = 0$.

$\mu\!$ wird also in zwei gewöhnliche (vorzeichenlose) Maße $\mu_+ \!$ und $\mu_- \!$ zerlegt, sodass

$\mu = \mu_+ - \mu_-\!$,

wobei $\mu_+ \!$ und $\mu_- \!$ für jede messbare Menge $A\in \mathcal{A}$ durch

$\mu_{+} := \mu(A \cap P)$ und

$\mu_{-} := -\mu(A \cap N)$

definiert sind.

$\mu_+ \!$ wird die obere Variation, $\mu_- \!$ die untere Variation von $\mu\!$ genannt. $|\mu|:=\mu_+ + \mu_- \!$ ist ebenfalls ein Maß und wird die vollständige oder totale Variation des Maßes $\mu\!$ genannt. Die Darstellung von $\mu\!$ als Differenz der oberen und der unteren Variation nennt man die Jordan-Zerlegung des Maßes.

Dieser Name bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt.

Literatur

• C. Jordan: Sur la Série de Fourier. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série Mathématique. Vol. 92, No. 5, S. 228–230, 1881.