Heisenbergsche Bewegungsgleichung

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung entspricht der zeitlichen Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung (oder auch in der Heisenberg-Darstellung der Quantenmechanik). Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern zeigt.

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.

Die Bewegungsgleichung selbst lautet:

$\frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[H_{\rm H},A_{\rm H}\right]+\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}$

wobei H_H der Hamilton-Operator des Systems im Heisenberg-Bild und $\left[H_{\rm H},A_{\rm H}\right]\equiv H_{\rm H}A_{\rm H}-A_{\rm H}H_{\rm H}$ ein Kommutator ist.

Wenn eine Observable A nicht explizit zeitabhängig ist $\tfrac{\partial A_{\rm S}}{\partial t}=\tfrac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}=0$ und zudem mit dem Hamiltonoperator vertauscht, sind die Eigenwerte des Operators eine Erhaltungsgröße.

Bewegungsgleichung für Erwartungswerte

Da im Heisenbergbild die Zustände zeitunabhängig sind $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi_{{\rm H}}\rangle=0$

$\left\langle \frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}\right\rangle =\langle\psi_{\rm H}|\frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}|\psi_{\rm H}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\psi_{\rm H}|A_{{\rm H}}|\psi_{\rm H}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A_{{\rm H}}\rangle$

kann man sofort die Heisenberggleichung der Erwartungswerte angeben:

$\frac{\mathrm{d}\langle A_{{\rm H}}\rangle}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle \left[H_{\rm H},A_{\rm H}\right]\right\rangle +\left\langle \frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}\right\rangle$

Aufgrund der Invarianz des Skalarprodukts unter Bildwechsel (die Erwartungswerte eines Operators sind in allen Bildern gleich), kann man die Gleichung bildunabhängig schreiben:

$\frac{\mathrm{d}\langle A\rangle}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle +\left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$

Diese Gleichung ist als Ehrenfest-Theorem bekannt.

Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung

Im Folgenden wird ausgehend von der Schrödingergleichung die heisenbergsche Bewegungsgleichung abgeleitet. Die umgekehrte Richtung ist ebenfalls möglich.

Der Darstellungswechsel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über

$A_{{\rm H}}(t)=U^{\dagger}(t)\, A_{{\rm S}}(t)\, U(t)$

wobei U(t) der Zeitentwicklungsoperator und $U^{\dagger}(t)$ sein adjungierter Operator ist.

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators U(t) auf einen Zustandsvektor im Schrödingerbild zum Zeitpunkt t₀ = 0 erhält man den Zustandsvektor zum Zeitpunkt t. Im Folgenden wird stets die abkürzende Schreibweise U(t,0) = U(t) verwendet:

$|\psi_{\rm S}(t)\rangle=U(t)|\psi_{\rm S}(0)\rangle$

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung $\mathrm{i}\hbar\tfrac{\partial}{\partial t}|\psi_{\rm S}(t)\rangle=H_{\rm S}(t)|\psi_{\rm S}(t)\rangle$ liefert:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi_{\rm S}(0)\rangle=H_{\rm S}(t)U(t)|\psi_{\rm S}(0)\rangle$

Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t)=H_{\rm S}(t)U(t)$

Vom Operator A_H(t)

$A_{{\rm H}}(t)=U^{\dagger}(t)\,A_{{\rm S}}(t)\,U(t)$

wird die Zeitableitung gebildet, wobei die Produktregel angewandt wird:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\left(\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}\right)A_{{\rm S}}\, U+U^{\dagger}\, A_{{\rm S}}\left(\frac{\partial}{\partial t}U\right)+U^{\dagger}\left(\frac{\partial}{\partial t}A_{{\rm S}}\right)U$

Nun werden obige Operatorgleichung und deren adjungierte

$\frac{\partial}{\partial t}U=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H_{\rm S}U$   und   $\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}U^{\dagger}H_{\rm S}$

eingesetzt:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}U^{\dagger}H_{\rm S}\right)A_{{\rm S}}\, U+U^{\dagger}\, A_{{\rm S}}\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H_{\rm S}U\right)+U^{\dagger}\left(\frac{\partial A_{{\rm S}}}{\partial t}\right)U$

Zusammenfassen:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(U^{\dagger}H_{S}A_{{\rm S}}U-U^{\dagger}A_{{\rm S}}H_{S}U\right)+U^{\dagger}\left(\frac{\partial A_{{\rm S}}}{\partial t}\right)U$

Nun schiebt man geschickt eine $1=\hat{U}\hat{U}^{\dagger}$ zwischen H_SA_S und zwischen A_SH_S ein:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A_{{\rm H}}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\underbrace{U^{\dagger}H_{\rm S}U}_{H_{\rm H}}\underbrace{U^{\dagger}A_{{\rm S}}\hat{U}}_{A_{\rm H}}-\underbrace{U^{\dagger}A_{{\rm S}}U}_{A_{\rm H}}\underbrace{U^{\dagger}H_{\rm S}U}_{H_{\rm H}})+\underbrace{U^{\dagger}\left(\frac{\partial A_{{\rm S}}}{\partial t}\right)U}_{\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(H_{\rm H}A_{\rm H}-A_{\rm H}H_{\rm H})+\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}$

Mit dem Kommutator lässt sich die heisenbergsche Bewegungsgleichung kompakt schreiben:

$\frac{\mathrm{d}A_{{\rm H}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[H_{\rm H},A_{\rm H}\right]+\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}$

Literatur

• Schwabl: Quantenmechanik (QM I). Springer, Berlin. ISBN 978-3540736745