Hermitesche Differentialgleichung

Die hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}$

bzw. $H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{dx}}\right)^n \, e^{-x^2/2}$

Explizite Darstellung

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

$H_n(x)=(-1)^n \sum_{k_1+2k_2=n} \frac{n!}{k_1!k_2!} (-1)^{k_1+k_2} (2x)^{k_1}$

also

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = (2x)² − 2 = 4x² − 2

H₃(x) = (2x)³ − 6(2x) = 8x³ − 12x

H₄(x) = (2x)⁴ − 12(2x)² + 12 = 16x⁴ − 48x² + 12

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen:

$\qquad H_{n+1}(x) = 2\,x\, H_n(x) - 2\,n\,H_{n-1}(x)$

$\qquad H_n'(x) = 2\,n\,H_{n-1}(x)$

Da bei jedem Iterationsschritt ein x hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H_n(x) ein Polynom von Grade n ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz xⁿ ist 2ⁿ. Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

$H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)$

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o.g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution n' = n + 1 auch wie folgt schreiben:

$H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=0,1,\ldots)$

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen H₀(x) = 1 und H₁(x) = 2x lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
Begin
 If n=0 Then Hermite:=1
        Else If n=1 Then Hermite:=2*x
                    Else Hermite:=2*x*Hermite(n-1,x)-2*(n-1)*Hermite(n-2,x)
End;

Die allgemeinere Ableitungsformel $H_{n}^{(m)}(x)=2nH_{n-1}^{m-1}(x)$ lässt sich wie folgt umsetzen:

Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
Begin
 If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
        Else
  If n<m Then HermiteAbleitung:=0
         Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                     Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
End;

Die hermiteschen Polynome (mit einem festen n) sind die Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$H_n''(x) - 2\,x\cdot H_n'(x) + 2\,n\cdot H_n(x)=0,\qquad (n=0,1,2...).$

Orthogonalität

Die hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion $\varrho = e^{-x^2}$ die Orthogonalitätsrelation

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx= 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.$

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der hermiteschen Polynome

Eine andere Definitionsmöglichkeit der hermiteschen Polynome ist

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.$

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion $\varrho(x) = e^{-x^2/2}$ orthogonal

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, H_n(x) \, H_m(x) \, dx = \sqrt{2\,\pi} \, n! \, \delta_{mn}$

und erfüllen die Differentialgleichung

$y'' + x\,y' + n\, y=0.$

Sie lassen sich rekursiv durch

$H_{n+1}(x) = x\,H_n(x) - n\,H_{n-1}(x)$

bestimmen.

Anwendung

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden Sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Siehe auch

Formel von Faà di Bruno

Literatur

• I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. Aufl. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
• Milton Abramowitz und Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
• Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
• Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
• Skript des Schülerforschungszentrum Bad Saulgau [1]