Implizites Trapez-Verfahren
- Implizites Trapez-Verfahren
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Das implizite Trapez-Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert-Problems
Es lässt sich sowohl den Runge-Kutta-Verfahren als auch den Adams-Moulton-Verfahren zuordnen. Das Trapezverfahren ist A-stabil mit der Besonderheit, dass für die Schwingungslösung y'=iαiy kein Amplitudenfehler auftritt[1]. Das Verfahren lässt sich aus der Trapezregel herleiten:
mit
Lösungsmethode
Zur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme genutzt werden. Für das quadratisch konvergente Newton-Verfahren ergibt sich konkret:
Man erhält also ein lineares Gleichungssystem
wobei J die Jacobi-Matrix
- ,
I die Einheitsmatrix und k der Iterationsschritt ist.
Schrittweite h
Die (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:
- ;
δ bezeichnet den zugelassenen lokalen Diskretisierungsfehler. Der Ansatz liefert für die implizite Trapez-Methode
- .
Dabei ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix (Spektralradius). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die Gesamtnorm heranzuziehen, die immer größer oder gleich der Spektralnorm ist. N ist der Rang der Jacobi-Matrix und aij deren Elemente.
Literatur
- H. R. Schwarz: Numerische Mathematik, B.G.Teubner Stuttgart; 1986
Einzelnachweise
- ↑ M. Kloker: Numerische Löser für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy, Universität Stuttgart, 1996
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