Implizites Trapez-Verfahren

Implizites Trapez-Verfahren

Das implizite Trapez-Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert-Problems

y'(t)  = f\left(t, y(t)\right), \quad
       y(t=0) = y_0

Es lässt sich sowohl den Runge-Kutta-Verfahren als auch den Adams-Moulton-Verfahren zuordnen. Das Trapezverfahren ist A-stabil mit der Besonderheit, dass für die Schwingungslösung y'=iαiy kein Amplitudenfehler auftritt[1]. Das Verfahren lässt sich aus der Trapezregel herleiten:

y_{n+1}=y_n + \frac{h}{2}(f_{n+1}+f_n)

mit

f_n \ := f(t_n,y_n).

Inhaltsverzeichnis

Lösungsmethode

Zur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme genutzt werden. Für das quadratisch konvergente Newton-Verfahren ergibt sich konkret:

y^{(k + 1)}_{n+1} =
y^{(k)}_{n+1} - \left( y^{(k)}_{n+1} - y_n - \frac{h}{2}(f^{(k)}_{n+1} + f_n) \right)
\left(I - \frac{h}{2}\frac{\partial f^{(k)}_{n+1}}{\partial y^{(k)}_{n+1}}\right)^{-1}.

Man erhält also ein lineares Gleichungssystem

(I-\frac{h}{2} J^{(k)})y^{(k + 1)}_{n+1} =
-\frac{h}{2} J^{(k)} y^{(k)}_{n+1} +y_n + \frac{h}{2}(f^{(k)}_{n+1} + f_n),

wobei J die Jacobi-Matrix

J^{(k)} := \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{(k)}_{n+1},

I die Einheitsmatrix und k der Iterationsschritt ist.

Schrittweite h

Die (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:

\vert\frac{F(h\lambda)}{e^{h\lambda}} - 1\vert = \delta;

δ bezeichnet den zugelassenen lokalen Diskretisierungsfehler. Der Ansatz y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f_{n+1} + f_n)=:F(h\lambda)y_n liefert für die implizite Trapez-Methode

F(h\lambda)=\frac{2+h\lambda}{2-h\lambda}.

Dabei ist \lambda \, := \max_j{|\lambda_j|} der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix (Spektralradius). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die Gesamtnorm \lambda = N \cdot \max_{i,j} |a_{i j}| heranzuziehen, die immer größer oder gleich der Spektralnorm ist. N ist der Rang der Jacobi-Matrix und aij deren Elemente.

Literatur

  • H. R. Schwarz: Numerische Mathematik, B.G.Teubner Stuttgart; 1986

Einzelnachweise

  1. M. Kloker: Numerische Löser für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy, Universität Stuttgart, 1996

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