Integrallogarithmus

Der Integrallogarithmus ist eine mathematische Funktion.

Definition

Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Funktionsgraph von li

Eine Definition im Bereich x ≥ 0 lautet

${\rm li}(x) = \int_0^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ ,$

dabei muss li wegen der Singularität bei x = 1 für x > 1 über einen Grenzwert definiert werden (Cauchyscher Hauptwert):

${\rm li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_0^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\right)\ .$

Eine andere Definition für x ≥ 2 ist

${\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) = \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ .$

Eigenschaften

Einige Werte:

li(0) = 0

li(1) = −∞

li(μ) = 0

li(2) = 1,04516 37801 17492 78484 … (Folge A069284 in OEIS)

Dabei ist µ = 1,45136 92348 83381 05028 … (Folge A070769 in OEIS) die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt li(x) = Ei(ln x) mit der Integralexponentialfunktion Ei, daraus erhält man die Reihendarstellung

${\rm li}(x) = \gamma + \ln\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}\ ,$

wobei γ = 0,57721 56649 01532 86060 … (Folge A001620 in OEIS) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von li erhält man durch lineare Substitution

${\rm li}(x) = x \int_0^1 \frac{\mathrm dt}{\ln(x\,t)}\ ,$

wobei für x > 1 wegen der Singularität bei t = 1 / x der Cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.

Außerdem gilt für p > −1, p ≠ 0

$\int_0^1 {\rm li}(t)\,t^{p-1}\,\mathrm dt = -\tfrac1{p} \ln(p+1)\ ,$

für p = 1 erhält man $\textstyle\int_0^1 {\rm li}(t)\,\mathrm dt = -\ln 2.$ Im Grenzfall p = 0 ist $\textstyle\int_0^1 {\rm li}(t)\,t^{-1}\,\mathrm dt = -1.$

Eine weitere Formel ist $\textstyle\int_0^1 {\rm li}(t^{-1})\,t\,\mathrm dt = 0.$

Die Golomb-Dickman-Konstante $\lambda = \textstyle\int_0^1 e^{{\rm li}(x)}\mathrm dx$ = 0,62432 99885 43550 87099 … (Folge A084945 in OEIS) tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Siehe auch

• Integralsinus
• Integralcosinus

Literatur

• Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante, Lindauer, München 1809 (französisch; bei Google Books: [1])
• Niels Nielsen: Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (im Internet-Archiv: [2])

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Logarithmic Integral. In: MathWorld. (englisch)
• Logarithmic integral bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)