Integralsinus

Der Integralsinus ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine durch ein Integral gegebene Funktion. Joseph Liouville (1809-1882) bewies, dass der Kardinalsinus nicht elementar integrierbar ist.

Allgemeines

Verlauf des Integralsinus im Bereich 0 ≤ x ≤ 8π

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der Sinc-Funktion:

$\mathrm{Si}\left(x\right):=\int_0^x \mathrm{sinc}\left(t\right)\, \mathrm{d}t=\int_0^x \frac{\sin\left(t\right)}{t}\, \mathrm{d}t$. ^[1]

Im Grenzübergang $\lim_{x\to \infty} \mathrm{Si}\left(x\right)$ kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:

$\lim_{x\to \infty} \mathrm{Si}\left(x\right)=\frac{\pi}{2}$

Die Entwicklung in eine Taylorreihe an der Stelle 0 liefert die kompakt konvergente Reihe:

$\mathrm{Si}\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}x^{2k+1}$

Eng verwandt ist der Integralcosinus, der Zusammen mit dem Integralsinus in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Siehe auch

• Integralexponentialfunktion

Einzelnachweise

1. ↑ Handbuch der Mathematik, Seite 517 ISBN 3-8166-0015-8