Klothoide

Form der Klothoide

Die Klothoide, auch Klotoide (v. griechisch κλώθω „spinnen“), ist eine spezielle ebene Kurve. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale (nach Marie Alfred Cornu) und Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umgesponnen“ wird).

Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien Fahrdynamik.

Pionier ihrer Untersuchung war der französische Physiker Alfred Cornu im Jahr 1874. 1937 fand sie durch L. Oerley erstmals Eingang in die Straßenplanung und wurde 1954 mit einem umfassenden Tafelwerk (Kasper, Schürba, Lorenz) für Trassierungs- und Absteckungsarbeiten in der Baupraxis allgemein zugänglich gemacht.

In diesem Tafelwerk wird durchgängig Klotoide (ohne h) geschrieben. Auch die alten Ausgaben des Taschenbuch der Mathematik (Bronstein-Semendjajew) bevorzugen diese Schreibweise. Die Schreibweise laut Duden ist Klothoide.

In den heutigen Trassierungs- und CAD-Programmen ist die numerische Berechnung von Klothoiden in der Programmbibliothek integriert und erfolgt automatisch.

Klothoidengleichung

Der Krümmungsradius dieser Kurve ist umgekehrt proportional zur Länge des Bogens:

$R=\frac{A^2}{L},\quad L>0,$

wobei R der Krümmungsradius, L die Länge des Bogens und A eine Konstante ist.

Die Gleichung der Klothoide lautet in Parameterform:

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= a\,\sqrt{\pi}\,\int_0^t \begin{pmatrix} \cos{\frac{\pi\,\xi^2}{2}}\\ \sin{\frac{\pi\,\xi^2}{2}} \end{pmatrix}\ \mathrm{d}\xi,\quad t=\frac{L}{A\,\sqrt{\pi}},$

wobei L die Länge der Kurve von $\left(0,0\right)^T$ bis $\left(x,y\right)^T$ ist.

Einheitsklothoide

Die Einheitsklothoide ist eine Klothoide mit dem Parameter A = 1. Die Grundgleichung A² = R * L zeigt, dass der Parameter A eine kennzeichnende Größe ist und der Seitenlänge des Quadrates entspricht, das flächengleich mit dem Rechteck aus dem Produkt R * L in jedem beliebigen Punkt der Klothoide ist. Die Einheitsklothoide wurde benutzt, um Tafeln für die Berechnung von Punkten auf der Klothoide aufzustellen, analog den Tafelwerken für Winkelfunktionen, denen der Einheitskreis mit R = 1 zugrunde liegt. Die dort entnommenen Werte werden mit dem gegebenen Parameter A multipliziert, da alle Klothoiden einander ähnlich sind und proportional vergrößert oder verkleinert werden können.

Bekannte, häufig benutzte Tabellenwerke waren:

• Die Klothoide als Trassierungselement von Kasper, Schürba, Lorenz
• Klothoidentaschenbuch für Entwurf und Absteckung von Krenz, Osterloh

Bezeichnungen gem. Kasper, Schürba, Lorenz:

$A \quad$	Parameter der Klothoide
$R \quad$	Radius im Endpunkt
$L \quad$	Länge
$T \quad$	Schnittwinkel der Tangenten im Anfangs- und Endpunkt im Bogenmaß

Die Tabellenwerte X und Y beziehen sich auf die Tangente im Ursprung (Wendepunkt) der Klothoide (0/0) mit dem Radius gleich Unendlich. Die X-Koordinate ist der Abschnitt auf dieser Tangente, die Y-Koordinate der orthogonale Abstand des Klothoidenpunktes von der Tangente. Eingangswert ist L / A.

Um Klothoidenberechnungen mit mechanischen Rechenmaschinen zu vereinfachen, die nur die vier Grundrechenarten ermöglichten, wurden zusätzlich Spezialtafeln für häufig vorkommende Aufgaben beigefügt, um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten.

Moderne Berechnungsverfahren

Heute sind für Klothoidenberechnungen weder Tafeln noch Näherungslösungen erforderlich. Für eine programmgesteuerte Berechnung sind Klothoiden besonders gut geeignet, da die Formeln einfach sind, wenig Programmieraufwand erfordern und ein sehr gutes Laufzeitverhalten haben. Wegen der sehr häufigen Verwendung der Klothoide bei der Trassierung von Verkehrswegen wird der Berechnungsablauf hierfür als Beispiel herangezogen.

Grundgleichungen:

$\begin{align} A^2 &= R\cdot L \\ T &= \frac{L^2}{2A^2} \\ X &=\int_0^L \cos\frac{L^2}{2A^2}\ \mathrm dL \\ Y &=\int_0^L \sin\frac{L^2}{2A^2}\ \mathrm dL \\ \end{align}$

Zur Berechnung werden statt der Sinus- bzw. Cosinusfunktion deren Potenzreihenentwicklungen

$\begin{align} \mathrm{cos}(T) &= \left( 1 - \frac{T^2}{2!} + \frac{T^4}{4!} - \frac{T^6}{6!} \pm \cdots\ \right)\\ \mathrm{sin}(T) &= \left( T - \frac{T^3}{3!} + \frac{T^5}{5!} - \frac{T^7}{7!} \pm \cdots\ \right)\\ \end{align}$

verwendet und partiell integriert. Setzt man dann für $\frac{L^2}{2A^2}$ wieder T ein, erhält man für die Koordinaten X und Y auf der Ursprungstangente folgende, sehr einfache Reihenentwicklungen:

$\begin{align} X &= L \cdot \left( 1 - \frac{T^2}{2!\cdot 5} + \frac{T^4}{4!\cdot 9} - \frac{T^6}{6!\cdot 13} \pm \cdots\right)\\ Y &= L \cdot \left( \frac{T}{3} - \frac{T^3}{3!\cdot 7} + \frac{T^5}{5!\cdot 11} - \frac{T^7}{7!\cdot 15} \pm \cdots \right) \end{align}$

Für den im Bereich von Trassierungsberechnungen genutzten Klothoidenabschnitt ($\tfrac{R}{3}$ ≤ A ≤ R) ist der Wert T maximal 0.5. Um auch für seltene Sonderfälle gewappnet zu sein, sollte das Programm T-Werte bis π (3.14159) zulassen, damit der gleiche Drehwinkel (180°) wie in einem Halbkreis abgedeckt ist. Die Reihenglieder für X und Y konvergieren schon nach wenigen Schritten gegen Null. Weil die Fakultätsfunktion im Nenner steht, wächst dessen Wert schnell. Bei T < 1 nimmt der Wert des Zählers ab und beschleunigt zusätzlich die Berechnung. Die Genauigkeit der Berechnung lässt sich über einen Grenzwert, der zum Abbruch der Berechnung führt, steuern. Üblich ist eine Genauigkeit, die fünf gültige Nachkommastellen hat, wenn mit 8 Byte Datenbreite (double precision) gerechnet wird. Für Grafikausgaben genügt eine Genauigkeit, die dem halben Pixeldurchmesser des Ausgabegerätes, multipliziert mit dem reziproken Maßstabsfaktor, entspricht (Begründung: siehe Bresenham-Algorithmus).

Um die lokalen Koordinaten X und Y in das übergeordnete Bezugssystem zu überführen, ist abschließend eine einfache Transformation, z.B. über bereits bekannte Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes im Bezugssystem erforderlich. Die Berechnung von Klothoidenpunkten ist beim Einsatz von Computern heute genau so einfach, wie bei Punkten auf den Trassierungselementen Gerade und Kreisbogen.

Anwendung in der Optik

Fresnelsche Integrale

Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. Beispielsweise beschreiben die Fresnelschen Integrale S(x) und C(x) die Intensität der Lichtverteilung hinter einer beleuchteten Kante:

$S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\ \mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$

$C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\ \mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$.

Zusammen bilden sie die Parameterdarstellung der Klothoide.

• Die Konvergenzpunkte liegen bei:

$\int_{0}^{\infty} \cos t^2\ \mathrm dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\ \mathrm dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$

• Die Länge L eines Kurvenelements l der Klothoide, vom Ursprung aus gemessen, beträgt:

$L=\int_0^l \sqrt{S'(t)^2+C'(t)^2} \ \mathrm dt = l$, da S'(t)² + C'(t)² = sin(t²)² + cos(t²)² = 1

Die Länge ist unbeschränkt.

• Die Krümmung κ = 1 / R (R ist der Krümmungsradius) ist proportional zur Länge der Klothoide.

Anwendung im Verkehrswegebau

Im Verkehrswegebau wird bei der Berechnung der Linienführung einer Verkehrsachse die Klothoide als Übergangselement zwischen zwei Elementen mit konstanter, aber unterschiedlicher Krümmung eingesetzt. Sie kommen auf zahlreichen Teilabschnitten von Straßen- und Bahnstrecken zum Einsatz.

Klothoide als Trassierungselement

Klothoidenlineal A=55 für den Maßstab 1:1000

Zur Bemessung der Trassierungselemente bei einer fahrdynamischen Trassierung von Verkehrswegen dient die Entwurfsgeschwindigkeit, aus der sich Mindestradien bzw. bei Klothoiden Mindestparameter ergeben. Die Entwurfsgeschwindigkeit ist unter anderem von der Bedeutung eines Verkehrsweges abhängig, also bei Fernverbindungen hoch und bei regionalen Verbindungen niedriger. Eine niedrige Entwurfsgeschwindigkeit erlaubt eine Trassenführung, die sich besser an die topografischen Verhältnisse anpassen lässt. Auch das Verkehrsaufkommen muss berücksichtigt werden. Innerörtliche Straßen werden dagegen in der Regel nicht fahrdynamisch trassiert, bzw. mit einer niedrigen Entwurfsgeschwindigkeit geplant.

Eine Trasse setzt sich einerseits aus Trassierungselementen mit konstanter Krümmung wie Geraden und Kreisbögen, andererseits aus Klothoiden als Übergangsbögen mit zu- und abnehmender Krümmung zusammen. Die Krümmung $\kappa = \tfrac{1}{R}$ wächst bzw. fällt linear mit der Länge L auf der Klothoide.

Für die Verwendung der Klothoide als Übergang zwischen Elementen mit konstanter Krümmung im Straßenbau spricht:

• Bei einer Kurvenfahrt muss das Lenkrad gedreht werden, um das Fahrzeug in den Bogen einzulenken. Bei konstanter Fahrgeschwindigkeit und gleichmäßiger Änderung des Lenkeinschlages bewegt sich das Fahrzeug auf einer Linie, die näherungsweise einer Klothoide entspricht. Durch die Klothoide als Übergangselement wird sichergestellt, dass die Querbeschleunigung nicht ruckartig einsetzt, sondern ebenfalls linear wächst oder abnimmt.

• Die Entwässerung der Fahrbahn bei Regen erfordert, dass die Fahrbahn in Querrichtung geneigt ist (Querneigung), um Aquaplaning zu verhindern. Eine Querneigung der Fahrbahn ist auch erforderlich, um die Querbeschleunigung auf ein annehmbares Maß zu begrenzen. Bei geneigter Fahrbahn wirkt die vertikale Erdbeschleunigungskomponente (9.81 m/sec²) dagegen und die Kräfte werden besser in die Fahrbahn eingeleitet. Bei Kurven werden die Fahrbahnränder so um die Fahrbahnachse gedreht, dass der äußere Rand höher und der innere Rand tiefer als die Achse liegt. Diese „Verwindung“ der Fahrbahn um die Achse erfordert eine gewisse Übergangslänge. Die Klothoide als Übergangsbogen bei Krümmungswechseln stellt sicher, dass der Übergang innerhalb der Länge dieses Elements linear angelegt werden kann.

• Die Klothoide verbessert die optische Linienführung einer Trasse. Der Fahrer eines Fahrzeuges nimmt die Fahrbahn aus einer Perspektive wahr, die in Fahrtrichtung gesehen zu einer starken Verkürzung der Längsentwicklung führt. Ohne Übergangsbogen wirkt ein Krümmungswechsel wie ein Knick in der Achse. Die Klothoide als Übergangsbogen sorgt dafür, dass eine Kurve besser wahrgenommen und somit richtig eingelenkt wird.

Bei Bahntrassen haben Übergangsbögen die gleichen Vorteile. Schienengebundene Fahrzeuge werden unter Zwang gesteuert und haben keine Toleranz in Querrichtung. Ein Krümmungswechsel ohne Übergangsbogen erzeugt in diesem Fall eine sprunghafte Änderung der Querbeschleunigung, die sehr schnell als unangenehm empfunden wird. Erschwerend kommt hinzu, dass ein abrupter Krümmungswechsel erhöhten Verschleiß an den Schienen und den Radsätzen verursacht. Es gibt jedoch geringfügige Abweichungen gegenüber der Ausführung im Straßenbau:

• Bei Schienen muss die Entwässerung des Fahrweges nicht berücksichtigt werden. In Geraden liegen beide Schienen auf gleicher Höhe. In Kurven wird nur die äußere Schiene angehoben, um der Querbeschleunigung entgegenzuwirken. Diese Form der Ausführung wird als „Überhöhung“ bezeichnet. Der Übergangsbogen sorgt dafür, dass die Überhöhung innerhalb seiner Länge linear ausgeführt werden kann.

• Im Eisenbahnbau werden bei konventionellen Geschwindigkeiten (< 160 km/h) nach wie vor auch kubische Parabeln (Blossbogen) als Übergangsbögen verwendet, die im Nahbereich des Ursprungs einen der Klothoiden ähnlichen Verlauf haben.

Bei Achterbahnen, ebenfalls schienengebundene Fahrzeuge, werden Klothoiden eingesetzt, um die Passagiere nicht durch starke Querbeschleunigungen zu belasten. Im Fall der Achterbahn ist die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt der Trasse mit geringen Abweichungen bekannt; somit können die einwirkenden Querkräfte durch eine angepasste Überhöhung der Kurven fast ganz eliminiert werden. Voraussetzung dafür sind Übergangsbögen.

Berechnung einer Achse mit Klothoiden als Übergangselemente

Um die Lage der Achse eines Verkehrsweges zu definieren, wird zweistufig gearbeitet:

• Während der Entwurfsplanung wird die Achse in ihren Hauptelementen bestimmt (Achshauptpunktberechnung). Ergebnis ist eine Achse, die in den Planungskorridor passt und den Entwurfsrichtlinien (Entwurfsgeschwindigkeit usw.) entspricht. Die Länge der Achse ergibt sich aus der Summe der Längen der Achselemente. Jedem Hauptpunkt der Achse wird eine „Station“ zugewiesen, die summierten Längen vom Achsanfang bis zum jeweiligen Hauptpunkt. Die „Stationierung“ der Elemente (von Station / bis Station) schafft eine eindeutige Zuordnung innerhalb der Achse.

• Zur Bauausführung wird im Zuge der Ausführungsplanung die Punktfolge auf der Achse soweit verdichtet, dass eine planungsgemäße Absteckung und Bauausführung gewährleistet ist (Achskleinpunktberechnung).

Die Bestimmung der Lage einer Klothoide als Achselement im Bezugskoordinatensystem erfolgt während der Achshauptpunktberechnung. Bei Klothoiden sind Randbedingungen zu beachten. Der einfachste Fall, die Elementfolge Gerade – Klothoide – Kreisbogen – Klothoide – Gerade soll hierzu als Beispiel dienen:

• Der Mittelpunkt des Kreisbogens liegt nicht mehr im Abstand R (Radius) senkrecht zu der Geraden. Durch die Klothoiden wird eine Abrückung des Bogens von der Geraden verursacht, die mit D bezeichnet wird. Der Abstand des Kreismittelpunktes ist also R + D. D ergibt sich aus dem Endpunkt der Klothoide (X_E/Y_E) über die Mittelpunktskoordinaten (X_M/Y_M) des Kreisbogens, bezogen auf die Ursprungstangente der Klothoide:

$X_M=X_E-R \cdot \sin T \qquad$	Abstand vom Ursprung der Klothoiden
$Y_M=Y_E+R \cdot \cos T \qquad$	orthogonaler Abstand von der Ursprungstangente
$D=Y_M-R \qquad \qquad$	Abrückung von der Ursprungstangente

Lageplan und Krümmungsband der Elementfolge Gerade – Klothoide – Kreisbogen

• Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss größer sein als die Summe der Drehwinkel beider Klothoiden. Die Parameter im Straßenbau variieren im Bereich $\tfrac{R}{3}$ ≤ A ≤ R. Minimal sind bei A = $\tfrac{R}{3}$ pro Klothoide 3,54 gon bzw. 3,18° erforderlich, maximal erfordert A = R je Klothoide 31,83 gon bzw. 28.65°. Ist der Schnittwinkel kleiner, kommt es zu Überschneidungen im Bereich des Kreisbogens. Erfüllt der Schnittwinkel genau die Mindestbedingungen für die Drehwinkel der beiden Klothoiden, ist die Länge des Kreisbogens Null. Man spricht dann von einer Scheitelklothoide. Diese Konstruktion sollte bei der Trassierung vermieden werden.

• Der Endpunkt der Anfangsgeraden bzw. der Anfangspunkt der Endgeraden ergibt sich aus dem Lotfußpunkt des Kreismittelpunktes auf der Geraden – in diesem Fall identisch mit der Ursprungstangente – abzüglich des Abstandes X_M. Auch in diesem Fall kann es zu Überschneidungen mit benachbarten Elementen kommen, die an beide Geraden anschließen.

Im Falle von Übergängen zwischen zwei Kreisbögen wird D über die Berechnung des Abstandes der beiden Kreismittelpunkte ermittelt, wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind:

• Die Verbindung von Kreisbögen mit gegenläufiger Krümmung erzeugt eine Wendeklothoide mit zwei Ästen. Die Parameter der beiden Klothoidenäste können unterschiedlich sein, sie haben jedoch immer einen gemeinsamen Ursprung mit gleicher Tangentensteigung.

• Die Verbindung von gleichsinnig gekrümmten Kreisbögen erzeugt eine Eiklothoide, also einen Klothoidenabschnitt, der mit dem Radius des ersten Kreisbogens beginnt und mit dem Radius des zweiten Kreisbogens endet. In diesem Fall liegt der Ursprung der Klothoide nicht auf der Achse.

Werden bei der Berechnung der Grundelemente Gerade und Kreisbogen die Abstände D in Abhängigkeit von den Klothoidenparametern berücksichtigt, lassen sich die Klothoiden anschließend über einfache Transformationen passgenau einfügen.

Bei Klothoiden muss jedoch berücksichtigt werden, dass sie bei Achsverschiebungen nicht parallel versetzt werden können, wie das bei Geraden und Kreisbögen jederzeit möglich ist. Eine Parameteränderung erzeugt keine Linie, die den Bedingungen der Parallelität streng entspricht. Allerdings sind die Abweichungen bei kurzen Klothoidenabschnitten, wie sie bei der Trassierung vorwiegend verwendet werden, regelmäßig so klein, dass der Fehlbetrag im Rahmen der Bautoleranz liegt. Dies muss jedoch immer rechnerisch überprüft und gegebenenfalls durch eine Hilfskonstruktion behoben werden.

Anwendungsmöglichkeiten der Klothoide bei der Trassierung

C-Klothoide | Eiklothoide | Korbklothoide | Scheitelklothoide | Verbundkurve | Wendeklothoide