Jones-Matrix

Der Jones-Formalismus beschreibt lineare optische Abbildungen unter Berücksichtigung der Polarisation. Das Licht wird als ebene elektromagnetische Welle repräsentiert, mit einem komplexwertigen zweidimensionalen Jones-Vektor, der Amplitude der Welle. Die Abbildungen werden durch Jones-Matrizen dargestellt. Der Formalismus wurde nach R. Clark Jones benannt, der diese Darstellung 1941 einführte. Der Jones-Formalismus eignet sich insbesondere zur Analyse optischer Systeme, in denen ein Lichtstrahl eine Kaskade von optischen Bauelementen durchläuft.

Mathematische Beschreibung

Beispiele für normierte Jones-Vektoren

Polarisation	Jones-Vektor
linear in x-Richtung	$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
linear in y-Richtung	$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
linear in +45°-Richtung	$\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
linkshändig zirkular	$\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm{i} \end{pmatrix}$
rechtshändig zirkular	$\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\mathrm{i} \end{pmatrix}$

In komplexer Schreibweise hat die Elongation einer monochromatischen ebenen Welle in einem kartesischen Koordinatensystem die Orts- und Zeitabhängigkeit

$\vec E(z,t)=\begin{pmatrix} \tilde E_x \\ \tilde E_y \end{pmatrix}e^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}$,

wobei k die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz bezeichnen und als Ausbreitungsrichtung die z-Achse gewählt ist. Der Jones-Vektor dieser Welle ist dann

$\vec J=\begin{pmatrix} \tilde E_x \\ \tilde E_y \end{pmatrix}$,

das heißt die explizite Raum- und Zeitabhängigkeit der Amplitude wird bei der Beschreibung der Welle unterdrückt. Der Effekt eines optischen Bauelements auf die Lichtwelle lässt sich durch die Wirkung einer komplexwertigen 2×2-Matrix $\mathbf M$ auf den Jones-Vektor beschreiben, wenn das Element keine nichtlinearen Eigenschaften hat,

$\vec J_{\rm out}={\mathbf M}\vec J_{\rm in}.$

Durchläuft der Lichtstrahl ein System optischer Elemente mit Jones-Matrizen $\mathbf M_1\ldots \mathbf M_n$, so lässt sich der Gesamteffekt des optischen Systems durch eine Jones-Matrix

${\mathbf M}={\mathbf M}_n\cdot{\mathbf M}_{n-1}\cdot \ldots \cdot{\mathbf M}_1$

beschreiben (sofern Mehrfachreflexionen zwischen den einzelnen Komponenten keine Rolle spielen). Die Eigenpolarisationen eines optischen Systems entsprechen den Eigenvektoren seiner Jones-Matrix. Der Jones-Vektor eignet sich nur für die Beschreibung vollständig polarisierten Lichts, und entsprechend können nur optische Komponenten, die keine depolarisierenden Eigenschaften besitzen, durch Jones-Matrizen charakterisiert werden. Sind Depolarisationseffekte von Bedeutung, muss auf den aufwändigeren Stokes-Formalismus zurückgegriffen werden.

Jones Matrizen können z. B. lineare Polarisationen oder zirkulare Polarisationen (Rotation der Polarisationsebene) und Verzögerungsplatten beschreiben. Bei der λ-Viertel Platte wird z. B. eine Polarisationsrichtung gegenüber der dazu senkrechten um eine Viertel Wellenlänge verzögert. Bei zirkularer Polarisation und Verzögerung ändert sich der Betrag der Gesamtamplitude nicht, und die Matrizen sind unitär, es gilt $M^{-1}=M^{\dagger}:=\overline{M}^{\rm T}$ (dabei bedeutet $\overline{M}$ komplex konjugiert und T die Transposition der Matrix) und ${|M \cdot \vec J|}^2=({\vec J}^{*T} \cdot M^{\dagger} M \cdot \vec J ) = ({\vec J}^{* T} \cdot \vec J) ={|\vec J|}^2$. Bei linearer Polarisation kann sich der Betrag der Gesamtamplitude ändern, die zugehörigen Matrizen sind nicht unitär.

Beispiele für Jones-Matrizen

Optisches Element	Jones-Matrix
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in H-Stellung	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in V-Stellung	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in +45°-Stellung	$\frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in −45°-Stellung	$\frac12 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, $\varphi$ rad im mathematisch positiven Drehsinn aus der H-Stellung gedreht	$\begin{pmatrix} \cos^2\varphi & \cos\varphi\sin\varphi \\ \sin\varphi\cos\varphi & \sin^2\varphi \end{pmatrix}$
Polarisator für linkshändig zirkular polarisiertes Licht	$\frac12 \begin{pmatrix} 1 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 1 \end{pmatrix}$
Polarisator für rechtshändig zirkular polarisiertes Licht	$\frac12 \begin{pmatrix} 1 & \mathrm{i} \\ -\mathrm{i} & 1 \end{pmatrix}$
λ/2-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung	$\begin{pmatrix} -\mathrm{i} & 0 \\ 0 & \mathrm{i} \end{pmatrix} = \exp{(\frac{-\mathrm{i} \pi}{2})} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \exp{(\mathrm{i} \pi)} \end{pmatrix}$
λ/4-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung	$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 - \mathrm{i} & 0 \\ 0 & 1 + \mathrm{i}\end{pmatrix}= \exp{(\frac{-\mathrm{i} \pi}{4})} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &\exp{(\frac{\mathrm{i} \pi}{2})} \end{pmatrix}$

Gemäß der üblichen Sprechweise in der Optik, bezeichnen „H“ wie horizontal und „V“ wie vertikal die Orientierung in die x- und y-Richtung.

Wenn es nicht auf die Interferenz mit anderen Strahlen ankommt, kann ein gemeinsamer (komplexer) Phasen-Vorfaktor ausgeklammert werden, und die Matrizen werden häufig so angegeben, dass die erste Diagonalstelle reell ist.

Literatur

• R. Clark Jones: New calculus for the treatment of optical systems. I. Description and discussion of the calculus. In: Journal of the Optical Society of America. 31, Nr. 7, 1941, S. 488–493 (doi:10.1364/JOSA.31.000488). 
• R. M. A. Azzam, N. M. Bashara: Ellipsometry and Polarized Light. North-Holland, Amsterdam (u. a.) 1987 ISBN 0720406943.
• A. Gerrard, J. Burch: Introduction to Matrix Methods in Optics. John Wiley, 1975 (Google Books).
• Frank Pedrotti, Leno Pedrotti: Introduction to Optics. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 0135015456, Kapitel 14: Matrix Treatment of Polarization.

Weblinks

• Jones Matrix bei Science World