Karhunen-Loéve-Transformation

Hauptkomponentenanalyse als Faktorenanalyse: Zwei Hauptkomponenten einer zweidimensionalen Punktwolke (orthogonal rotiert)

Die Hauptkomponentenanalyse (englisch: Principal Component Analysis, PCA) ist ein Verfahren der multivariaten Statistik. Sie dient dazu, umfangreiche Datensätze zu strukturieren, zu vereinfachen und zu veranschaulichen, indem eine Vielzahl statistischer Variablen durch eine geringere Zahl möglichst aussagekräftiger Linearkombinationen (die „Hauptkomponenten“) genähert wird. Speziell in der Bildverarbeitung wird die Hauptkomponentenanalyse auch Karhunen-Loève-Transformation genannt. Sie ist von der Faktorenanalyse zu unterscheiden, mit der sie formale Ähnlichkeit hat und in der sie als Näherungsmethode zur Faktorenextraktion verwendet werden kann. (Der Unterschied der beiden Verfahren wird hier erläutert.)

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der PCA, z. B. die Principal Curves, die Principal Surfaces oder die Kernel-PCA.

Geschichte

Die Hauptkomponentenanalyse wurde von Karl Pearson 1901 eingeführt und in den 1930er Jahren von Harold Hotelling weiterentwickelt. Wie andere statistische Analysemethoden erlangte sie weite Verbreitung erst mit der zunehmenden Verfügbarkeit von Computern im dritten Viertel des 20. Jahrhunderts. Die ersten Anwendungen entstammten der Biologie.

Konzeption der Hauptkomponentenanalyse

Der zugrundeliegende Datensatz hat typischerweise die Struktur einer Matrix: An n Versuchspersonen oder Gegenständen wurden jeweils p Merkmale gemessen. Ein solcher Datensatz kann als Menge von n Punkten im p-dimensionalen Raum $\R^p$ veranschaulicht werden. Ziel der Hauptkomponentenanalyse ist es, diese Datenpunkte so in einen q-dimensionalen Unterraum $\R^q$ (q < p) zu projizieren, dass dabei möglichst wenig Information verloren geht.

Mathematisch wird eine Hauptachsentransformation durchgeführt: Man minimiert die Korrelation mehrdimensionaler Merkmale durch Überführung in einen Vektorraum mit neuer Basis. Die Hauptachsentransformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix angeben, die aus den Eigenvektoren der Kovarianzmatrix gebildet wird. Die Hauptkomponentenanalyse ist damit problemabhängig, weil für jeden Datensatz eine eigene Transformationsmatrix berechnet werden muss. Die Rotation des Koordinatensystems wird so ausgeführt, dass die Kovarianzmatrix diagonalisiert wird, d. h. die Daten werden dekorreliert (die Korrelationen sind die Nicht-diagonal-Einträge der Kovarianzmatrix). Für normalverteilte Datensätze bedeutet dies, dass die einzelnen Komponenten jedes Datensatzes nach der PCA voneinander statistisch unabhängig sind, da die Normalverteilung durch das nullte (Normierung), erste (Mittelwert) und zweite Moment (Kovarianzen) vollständig charakterisiert wird. Sind die Datensätze nicht normalverteilt, dann werden die Daten auch nach der PCA – obwohl nun dekorreliert – noch immer statistisch abhängig sein. Die PCA ist also nur für normalverteilte Datensätze eine „optimale“ Methode.

Da die Hauptkomponentenanalyse nicht ganz einfach ist, folgt zunächst ein Anwendungsbeispiel, welches unten weiter ausgeführt wird.

Anwendungsbeispiel

Betrachtet werden Artillerieschiffe des Zweiten Weltkriegs. Sie sind eingeteilt in die Klassen Schlachtschiffe, schwere Kreuzer, leichte Kreuzer und Zerstörer. Es liegen Daten für ca. 200 Schiffe vor. Es wurden die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung, Tiefgang, Leistung der Maschinen, Geschwindigkeit (längerfristig mögliche Höchstgeschwindigkeit), Aktionsradius und Mannschaftsstärke erfasst. Eigentlich messen die Merkmale Länge, Breite, Wasserverdrängung und Tiefgang alle einen ähnlichen Sachverhalt. Man könnte hier also von einem Faktor „Größe“ sprechen. Die Frage ist, ob noch andere Faktoren die Daten bestimmen. Es gibt tatsächlich noch einen zweiten deutlichen Faktor, der vor allem durch die Leistung der Maschinen und die Höchstgeschwindigkeit bestimmt wird. Man könnte ihn zu einem Faktor „Geschwindigkeit“ zusammenfassen.

Andere Beispiele für Anwendungen der Hauptkomponentenanalyse sind:

• Wendet man die Hauptkomponentenanalyse auf das Kaufverhalten von Konsumenten an, gibt es möglicherweise latente Faktoren wie sozialer Status, Alter oder Familienstand, die bestimmte Käufe motivieren. Hier könnte man durch gezielte Werbung die Kauflust entsprechend kanalisieren.

• Hat man ein statistisches Modell mit sehr vielen Merkmalen, könnte mit Hilfe der Hauptkomponentenanalyse gegebenenfalls die Zahl der Variablen im Modell reduziert werden, was meistens die Modellqualität steigert.

• Anwendung findet die Hauptkomponentenanalyse auch in der Bildverarbeitung – insbesondere bei der Fernerkundung. Dabei kann man Satellitenbilder analysieren und Rückschlüsse daraus ziehen.

• Ein weiteres Gebiet ist die Künstliche Intelligenz, zusammen mit den Neuronalen Netzen. Dort dient die PCA zur Merkmalstrennung im Rahmen der automatischen Klassifizierung bzw. in der Mustererkennung.

Verfahren

Es soll zunächst vorausgeschickt werden, dass die Varianz von Daten ein Maß für ihren Informationsgehalt ist.

Die Daten liegen als Punktwolke in einem p-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem vor. Es wird nun ein neues Koordinatensystem in die Punktwolke gelegt und dieses neue Koordinatensystem wird rotiert: Die erste Achse soll so durch die Punktwolke gelegt werden, dass die Varianz der Daten in dieser Richtung maximal wird. Die zweite Achse steht auf der ersten Achse senkrecht. In ihrer Richtung ist die Varianz am zweitgrößten usw. Für die p-dimensionalen Daten gibt es also grundsätzlich p viele Achsen, die aufeinander senkrecht stehen, sie sind orthogonal. Die Gesamtvarianz der Daten ist die Summe dieser „Achsenvarianzen“. Wird nun durch die ersten r' (r' < p) Achsen der größte Prozentsatz der Gesamtvarianz abgedeckt, erscheinen die Faktoren, die durch die neuen Achsen repräsentiert werden, ausreichend für den Informationsgehalt der Daten.

Häufig können die Faktoren inhaltlich nicht interpretiert werden. In der Statistik spricht man davon, dass ihnen keine verständliche Hypothese zugeschrieben werden kann (siehe Faktorenanalyse).

Statistisches Modell

Man betrachtet p Zufallsvariablen X_j, die bezüglich ihrer Erwartungswerte zentriert sind; d. h., ihre Erwartungswerte wurden von der Zufallsvariablen subtrahiert. Diese Zufallsvariablen werden in einem $(p \times 1)$-Zufallsvektor $\underline x$ zusammengefasst. $\underline x$ hat als Erwartungswertvektor einen Nullvektor und die $(p \times p)$-Kovarianzmatrix $\underline \Sigma$, wobei $\underline \Sigma$ symmetrisch und positiv definit ist. Die Eigenwerte λ_j, $j = 1, \dots, p$, der Matrix $\underline\Sigma$ sind absteigend der Größe nach geordnet. Sie werden als Diagonalelemente in der Diagonalmatrix $\underline \Lambda$ aufgeführt. Die zu ihnen gehörenden Eigenvektoren bilden die orthogonale Matrix $\underline \Gamma$. Es gilt dann $\underline \Lambda = \underline \Gamma^T \underline \Sigma \underline \Gamma .$

Der Zufallsvektor $\underline x$ wird linear transformiert zu $\underline x \mapsto \underline y = \underline \Gamma^T \underline x$.

Zur Verdeutlichung betrachten wir einen dreidimensionalen Zufallsvektor

$\underline x = \begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ X_3 \end{pmatrix}$.

Die Matrix der Eigenwerte ist

$\underline \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_A&amp;amp;amp; 0 &amp;amp;amp;0 \\ 0 &amp;amp;amp;\lambda_B&amp;amp;amp; 0 \\ 0&amp;amp;amp;0&amp;amp;amp;\lambda_C \end{pmatrix},$

wobei λ_A > λ_B > λ_C ist.

Die $(3 \times 1)$-Eigenvektoren $\underline \gamma_j$ lassen sich in der Matrix $\underline \Gamma$ zusammenfassen:

$\underline \Gamma= \begin{pmatrix} \underline \gamma_A&amp;amp;amp;\underline \gamma_B &amp;amp;amp;\underline \gamma_C \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \gamma_{1A}&amp;amp;amp;\gamma_{1B}&amp;amp;amp;\gamma_{1C}\\ \gamma_{2A}&amp;amp;amp;\gamma_{2B}&amp;amp;amp;\gamma_{2C} \\ \gamma_{3A}&amp;amp;amp;\gamma_{3B}&amp;amp;amp;\gamma_{3C} \end{pmatrix}$.

Die Multiplikation

$\underline x \rightarrow \underline y = \underline \Gamma^T \underline x$

ergibt die Gleichungen

Y_A = γ_1AX₁ + γ_2AX₂ + γ_3AX₃

Y_B = γ_1BX₁ + γ_2BX₂ + γ_3BX₃

Y_C = γ_1CX₁ + γ_2CX₂ + γ_3CX₃.

Die Varianz von Y_A ist

$\operatorname{var} Y_A = \lambda_A .$

Also hat die Hauptkomponente Y_A den größten Anteil an der Gesamtvarianz der Daten, Y_B den zweitgrößten Anteil usw. Die Elemente γ_jk, j = 1,2,3; k = A,B,C, könnte man als Beitrag der Variablen X_j am Faktor k bezeichnen. Die Matrix $\underline \Gamma$ bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Ladungsmatrix, sie gibt an, „wie hoch eine Variable X auf einen Faktor Y lädt“.

Schätzung der Modellparameter

Liegen konkret erhobene Daten mit p Merkmalen vor (d. h. jeder Datenpunkt ist ein p-dimensionaler Vektor), wird aus den Merkmalswerten die Stichproben-Korrelationsmatrix errechnet. Aus dieser Matrix bestimmt man dann die Eigenwerte und Eigenvektoren für die Hauptkomponentenanalyse. Da die Kovarianzmatrix eine symmetrische $p\times p$-Matrix ist, sind für ihre Berechnung insgesamt (p² + p) / 2 Parameter zu schätzen. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn die Anzahl N der Datenpunkte im Datensatz deutlich größer ist, d. h. wenn $N\gg (p^2+p)/2$. Anderenfalls ist die Bestimmung der Kovarianzmatrix stark fehlerbehaftet, und diese Methode sollte nicht angewandt werden.

Beispiel mit drei Variablen

Das o. g. Anwendungsbeispiel wird jetzt in Zahlen verdeutlicht:

Wir betrachten die Variablen Länge, Breite, Knoten. Die Streudiagramme geben einen Eindruck über die gemeinsame Verteilung der Variablen wieder.

Mit diesen drei Variablen wurde mit dem statistischen Programmpaket SPSS eine Hauptkomponentenanalyse durchgeführt. Die Ladungsmatrix Γ ist

Faktor	A	B	C
Länge	0,862	0,481	−0,159
Breite	0,977	0,083	0,198
Knoten	−0,679	0,730	0,082

Der Faktor y_A setzt sich also zusammen aus

$Y_A = 0{,}862 \cdot \mbox{Laenge} + 0{,}977 \cdot \mbox{Breite} - 0{,}679 \cdot \mbox{Knoten}$.

Vor allem der Beitrag von Länge und Breite zum ersten Faktor ist groß. Beim zweiten Faktor ist vor allem der Beitrag von Knoten groß. Der dritte Faktor ist unklar und wohl auch unerheblich.

Die Gesamtvarianz der Daten verteilt sich wie folgt auf die Hauptkomponenten:

Faktor	Eigenwert λj	Prozent der Gesamtvarianz	Prozentualer Anteil der Kumulierten Varianz an Gesamtvarianz
A	2,16	71,97	71,97
B	0,77	25,67	97,64
C	0,07	2,36	100,00

Es werden also durch die ersten zwei Hauptkomponenten bereits 97,64 % der gesamten Varianz der Daten abgedeckt. Der dritte Faktor trägt nichts Nennenswertes zum Informationsgehalt bei.

Beispiel mit acht Variablen

Es wurden nun acht Merkmale der Artillerieschiffe einer Hauptkomponentenanalyse unterzogen. Die Tabelle der Ladungsmatrix, hier „Komponentenmatrix“ genannt, zeigt, dass vor allem die Variablen Länge, Breite, Tiefgang, Wasserverdrängung und Mannschaftsstärke hoch auf die erste Hauptkomponente laden. Diese Komponente könnte man als „Größe“ bezeichnen. Die zweite Komponente wird zum größten Teil durch PS und Knoten erklärt. Die könnte „Geschwindigkeit“ genannt werden. Eine dritte Komponente lädt noch hoch auf Aktionsradius.

Die beiden ersten Faktoren decken bereits ca. 84 % der Information der Schiffsdaten ab, der dritte Faktor erfasst noch einmal ca. 10 %. Der zusätzliche Beitrag der restlichen Komponenten ist unerheblich.

Komponentenmatrix
	Komponente
	1	2	3	4	5	6	7	8
Wasserverdrängung BRT	0,948	−0,094	−0,129	0,228	0,040	0,036	0,136	0,055
Länge m	0,906	0,302	−0,064	−0,209	0,128	−0,144	−0,007	−0,050
Breite m	0,977	−0,128	−0,031	0,032	0,103	−0,017	−0,014	0,129
Tiefgang m	0,934	−0,276	−0,061	0,014	0,074	0,129	0,154	−0,038
1000 PS	0,552	0,779	−0,196	−0,133	−0,099	0,143	−0,038	0,018
Knoten sm/h	−0,520	0,798	−0,157	0,222	0,109	−0,038	0,071	0,004
Aktionsradius 100 sm	0,398	0,311	0,862	0,038	0,008	0,022	−0,002	−0,005
Mannschaftsstärke	0,955	0,063	−0,052	0,108	−0,226	−0,121	0,067	0,002
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse
	Acht Komponenten extrahiert

Varianz der Komponenten
Komponente	Eigenwerte
	Total	% der Varianz	Kumulativ
1	5,19	64,88	64,88
2	1,54	19,22	84,10
3	0,83	10,43	94,53
4	0,18	2,22	96,74
5	0,11	1,34	98,08
6	0,08	0,95	99,03
7	0,05	0,67	99,70
8	0,02	0,30	100,00

Anwendung in der Clusteranalyse und Dimensionsreduktion

Zweidimensionales Beispiel für PCA. Die beiden Cluster habe eine geringe interne Streuung. Die erste Hauptkomponente wird x_1 sein, die zweite x_2. Der Hauptanteil der Gesamtstreuung liegt zwischen den Clustern („signal variance“).

Zweidimensionales Beispiel für PCA. Die beiden Cluster haben eine sehr große interne Streuung. Die erste Hauptkomponente wird x_2 sein, die zweite x_1. Der Hauptanteil der Gesamtstreuung liegt innerhalb der Cluster („noise variance“).

Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) wird auch häufig in der Clusteranalyse und zur Reduzierung der Dimension des Parameterraums verwendet, insbesondere dann, wenn man noch keinerlei Vorstellung (Modell) von der Struktur der Daten hat. Dabei macht man sich zunutze, dass die PCA das (orthogonale) Koordinatensystem so dreht, dass die Kovarianzmatrix diagonalisiert wird. Außerdem sortiert die PCA die Reihenfolge der Koordinatenachsen (die Hauptkomponenten) so um, dass die erste Hauptkomponente den größten Anteil der Gesamtstreuung (Varianz) im Datensatz enthält, die zweite Hauptkomponente den zweitgrößten Anteil, usw. Wie an den Beispielen im vorigen Abschnitt illustriert wurde, kann man meist die hinteren Hauptkomponenten (also diejenigen, welche nur einen geringen Anteil an der Gesamtstreuung enthalten) ersatzlos streichen, ohne dass dadurch ein nennenswerter Informationsverlust entsteht.

Die Grundannahme für die Verwendung der PCA zur Clusteranalyse und Dimensionsreduktion lautet: Die Richtungen mit der größten Streuung (Varianz) beinhalten die meiste Information.

In diesem Zusammenhang ist sehr wichtig, dass diese Grundannahme lediglich eine Arbeitshypothese ist, welche nicht immer zutreffen muss. Um diesen Sachverhalt zu veranschaulichen, folgen zwei Beispiele:

• Signal Variance: Die Grafik rechts mit dem Titel „PCA Signal Variance“ zeigt ein Beispiel, bei dem die Annahme zutrifft. Der Datensatz besteht aus zwei Clustern (rot und grün), die klar voneinander getrennt sind. Die Streuung der Datenpunkte innerhalb jedes Clusters ist sehr klein verglichen mit dem „Abstand“ der beiden Cluster. Entsprechend wird die erste Hauptkomponente x_1 sein. Außerdem ist klar ersichtlich, dass die erste Hauptkomponente x_1 völlig ausreichend ist, um die beiden Cluster voneinander zu trennen, während die zweite Hauptkomponente x_2 dazu keinerlei nützliche Information enthält. Die Anzahl der Dimensionen kann also von 2 auf 1 reduziert werden (durch Vernachlässigung von x_2) ohne dass man dabei wesentliche Informationen über die beiden Cluster verlieren würde. Die Gesamtvarianz des Datensatzes wird also vom Signal dominiert (zwei getrennte Cluster).

• Noise Variance: Die Grafik rechts mit dem Titel „PCA Noise Variance“ zeigt ein Beispiel, bei dem die Annahme nicht zutrifft und die PCA nicht zur Dimensionsreduktion verwendet werden kann. Die Streuung innerhalb der beiden Cluster ist nun deutlich größer und trägt den Hauptanteil an der Gesamtstreuung. Unter der Annahme dass diese Streuung innerhalb der Cluster durch Rauschen verursacht wird, nennt man diesen Fall noise variance. Die erste Hauptkomponente wird x_2 sein, welche keinerlei Information über die Trennbarkeit beider Cluster beinhaltet.

Diese beiden Beispiele zeigen, wie man die PCA zur Reduzierung der Dimension und zur Clusteranalyse einsetzen kann bzw. dass dies nicht immer möglich ist. Ob die Grundannahme, dass die Richtungen der größten Streuung auch wirklich die interessantesten sind, nun zutrifft oder nicht, hängt vom jeweils gegebenen Datensatz ab und lässt sich oft nicht überprüfen – gerade dann, wenn die Anzahl der Dimensionen sehr hoch ist und sich die Daten demzufolge nicht mehr vollständig visualisieren lassen. Bei der Verwendung der PCA sind also Vorsicht und eine kritische Prüfung der Ergebnisse gefragt.

Anwendung in der Bildverarbeitung

Hauptkomponentenanalyse für die Bildverarbeitung: Zwei Hauptkomponenten eines Bildes (oblique rotiert)

Literatur

Originalarbeiten

• Pearson, K: On lines and planes of closest fit to a system of points in space, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, series 6, 2, 559–572 (1901).

Lehrbücher

• Dunteman, GH: Principal Component Analysis, Sage Publications, 1989.
• Fahrmeir, L; Hamerle, A; Tutz, G (Hrsg): Multivariate statistische Verfahren, New York 1996.
• Hartung, J; Elpelt, B: Multivariate Statistik, München, Wien 1999.
• Hastie, T.; Tibshirani, R.; Friedman, J.: The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction, 2001
• Kessler, W: Multivariate Datenanalyse, Weinheim 2007 (Eine sehr gute allgemeinverständliche Einführung in die PCA mit Beispiel-CD).
• Krzanowski, WJ: Principles of Multivariate Analysis, Oxford University Press, rev. ed. 2000.
• Mardia, KV, Kent, JT, und Bibby, JM: Multivariate Analysis, New York 1979.

Siehe auch

• Clusteranalyse
• Diskriminanzanalyse
• Projection Pursuit
• Grand Tour (Statistik)

Weblinks

• http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf
• YALE (Yet Another Learning Environment): neben vielen Verfahren zur Klassifikation und Clusteranalyse beinhaltet die freie (GPL) Software YALE auch Operatoren zur Hauptkomponentenanalyse (PCA, GHA, ICA, Kernel-PCA)