Klassenzahl

Sei K ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl h_K die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von K.

Eine Primzahl p heißt regulär, wenn $p \nmid h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)}$, wobei ζ_p eine p-te Einheitswurzel ist.

Zahlentheoretische Bedeutung

Möchte man eine Gleichung F(x) = 1 über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe I_K und der Idealklassengruppe Cl_K zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal $\mathfrak{a}$ mit $F(\mathfrak{a})=1$ ein Hauptideal: $\mathfrak{a}=(\alpha)$. Diese Zahl α löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über Cl_K zu lösen, genügt es, die Struktur von Cl_K als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von h_K. (z. B. $x^n = 1 \Rightarrow x=1$ für (n,h_K) = 1, oder: xⁿ = 1 falls h_K | n .)

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)

Sei p eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung $x^p+y^p=z^p,\quad (xyz,p)=1$ keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu $\prod_{i=0}^{p-1} (x+\zeta_p^i y) = z^p$. Geht man jetzt zu den Idealen von $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen $x+ \zeta_p^i y = \mathfrak{a}^p$. Da die Abbildung $x \mapsto x^p$ auf der Idealklassengruppe von $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen $x+ \zeta_p^i y = (\mathrm{Einheit}) \cdot \alpha^p$, die man zum Widerspruch führen kann.

Eigenschaften

• Klassenzahlformel: Für die Klassenzahl h_K gilt:

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{\mid D_K \mid}}$

Dabei ist w_K die Anzahl der Einheitswurzeln in K, D_K die Diskriminante der Erweiterung $K/\mathbb{Q}$ und $\operatorname{Reg}_K$ der Regulator von K.

Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.

• Sei K | k eine $\mathbb{Z}_p$-Erweiterung, d.h. $k=k_0 \subset k_1 \subset \cdots \subset K$ und $G(k_n|k)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. Sei $p^{e_n}$ der p-Anteil der Klassenzahl $h_{k_n}$. Dann gibt es von n unabhängige natürliche Zahlen λ, μ, ν, so dass e_n = λn + μpⁿ + ν für hinreichend großes n. (Siehe: Iwasawa-Theorie)
• Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für $p< 12\cdot 10^6$ verifiziert):

Sei $K^+:= \mathbb{Q}(\zeta_p)^+ = \mathbb{Q}(\zeta_p) \cap \mathbb{R}$. Dann ist p kein Teiler von $h_{K^+}$.

• Für $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ gilt: $p|h_K \Leftrightarrow p|B_j$ für ein $j\in \{2,4,\ldots,p-3\}$
• Sei n > 0. Dann gilt: $p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)} \Leftrightarrow p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})}$

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Second Edition, Springer-Verlag, 1997. ISBN 0-387-94762-0