Reguläre Primzahl

In der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie bestimmte Zahlen nicht teilt. Ihre bekannteste Anwendung stammt von Ernst Kummer, der 1850 bewies, dass der große Fermatsche Satz für Exponenten gilt, die durch eine reguläre Primzahl teilbar sind.

Definition

Eine Primzahl p > 2 heißt regulär, wenn sie keine der Bernoulli-Zahlen $B_2, B_4, \ldots, B_{p-3}$ teilt (d.h. wenn die Zähler dieser Zahlen in vollständig gekürzter Darstellung nicht durch p teilbar sind).

Kummer zeigte im Nachhinein, dass dies äquivalent ist zur folgenden Formulierung: Eine Primzahl heißt regulär, wenn die Klassenzahl des p-ten Kreisteilungskörpers nicht durch p teilbar ist.

Eigenschaften und Wissenswertes

Es ist bekannt, dass es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt. Die kleinsten irregulären Primzahlen sind 37, 59, 67 (Folge A000928 in OEIS). Es ist unbekannt, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt (Folge A007703 in OEIS); man vermutet, dass $\mathrm e^{-1/2}\approx61\%$ aller Primzahlen regulär sind.

Reguläre Primzahlen

Die ersten Glieder der Folge: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, ...

Irreguläre Primzahlen

Die ersten Glieder der Folge: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, ...

Anwendung auf den großen Satz von Fermat

Es sei p eine reguläre Primzahl, und es gelte a^p + b^p = c^p mit teilerfremden ganzen Zahlen a,b,c, wobei keine der Zahlen a,b,c durch p teilbar sei (diese Bedingung wird "Fall I" genannt). Bezeichnet ζ eine primitive p-te Einheitswurzel, so lässt sich die linke Seite der Gleichung faktorisieren als

$(a+b)(a+\zeta b)(a+\zeta^2b)\cdots(a+\zeta^{p-1}b),$

und man kann zeigen, dass diese Faktoren paarweise teilerfremd sind. Da ihr Produkt c^p eine p-te Potenz ist, sind auch die einzelnen Faktoren p-te Potenzen von Idealen im Ganzzahlring $\mathcal O$ des Kreisteilungskörpers $\mathbb Q(\zeta)$, insbesondere also

$(a+\zeta b)=\mathfrak a^p.$

An dieser Stelle kann nun die Regularität von p verwendet werden: Die p-te Potenz dieses Ideals $\mathfrak a$ ist ein Hauptideal, also ist auch $\mathfrak a$ selbst ein Hauptideal, d.h. es gibt eine Einheit u und ein Element $t\in\mathcal O$, so dass

$a+\zeta b=u\cdot t^p$

gilt. Diese Aussage kann durch Kongruenzbetrachtungen modulo p zum Widerspruch gebracht werden.

Weblinks

• Ausführlicher Beweis des großen fermatschen Satzes für reguläre Primzahlen (PDF, englisch)
• Originalbeweis von Kummer (eingebettetes PDF)