Idealklassengruppe

Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper davon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe)

Es sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe $\operatorname{Pic}A$ definiert als die Faktorgruppe

$\operatorname{Pic}A=J_A/P_A.$

Dabei ist

• J_A die Gruppe der gebrochenen Ideale, d.h. der endlich erzeugten A-Untermoduln von K, die nicht nur die Null enthalten, mit dem Produkt

$IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\},$

Die Gruppe J_A ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von A.

• P_A die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d.h. der Untermoduln der Form

$(a)=A\cdot a\subset K$

für $a\in K^{\times}$.

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist $\operatorname{Cl}_K$ für $\operatorname{Pic}A$.

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale I und J sind äquivalent, wenn es ein Element $\lambda\in K^\times$ gibt, so dass I = λJ gilt.

Eigenschaften

• $\operatorname{Pic}A$ ist genau dann trivial, d.h. die Klassenzahl ist 1, wenn A ein Hauptidealring ist, und das ist äquivalent dazu, dass es in A eindeutige Primfaktorzerlegung gibt.
• Ist A der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers K, so ist $\operatorname{Cl}_K$ endlich.

Verwandte Begriffe

Für einen algebraischen Zahlkörper K gibt es eine Erweiterung H / K, den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe $\operatorname{Gal}(H/K)$ ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von K wird in H zu einem Hauptideal.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.