Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.

Definition

Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Untervektorraum von V. Dann heißt eine Folge $(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n)$ von Vektoren aus V Komplementärbasis von U in V, falls sie linear unabhängig ist und $V=U\oplus W$ gilt (V ist also die direkte Summe von U und W), dabei sei W der durch $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ erzeugte Unterraum.

W ist also ein komplementärer Unterraum von U und die Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ bilden dazu eine Basis.

Alternative Formulierung

Seien $a_1, \ldots, a_n$ Skalare aus K. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

Erstens lässt sich jedes Element $u \in U$ aus der Linearkombination

$a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + \ ... \ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = u$

nur darstellen, wenn alle Koeffizienten a_i = 0 (für i = 1...n) sind

und zweitens erzeugen die Vektoren $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ zusammen mit U den Vektorraum V.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ auch linear unabhängig modulo U)

Eigenschaften

• Sei $(u_1,\ldots,u_s)$ eine Basis von U. Genau dann ist $(v_1,\ldots,v_t)$ eine Komplementärbasis von U in V, wenn $(u_1,\ldots,u_s,v_1,\ldots,v_t)$ eine Basis von V ist.

Es gilt dann t = dim V − dim U.

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo U ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von U in V ergänzen.