Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist $(G,\cdot)$ eine Gruppe und sind $M$ und $N$ Teilmengen von $G$ , dann ist das Komplexprodukt von $M$ mit $N$ definiert als

$M\cdot N := \{m\cdot n\mid m\in M, n\in N\}$ .

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

$\begin{align} MN & := M\cdot N\\ gN & := \{g\}\cdot N\\ Mg & := M\cdot \{g\}\end{align}$

üblich, wobei $g$ ein Element der Gruppe ist.

Da die obige Definition nur das Vorhandensein einer zweistelligen Verknüpfung voraussetzt, kann das Komplexprodukt auch in allgemeineren Strukturen betrachtet werden, zum Beispiel in Halbgruppen.

Eigenschaften

Das Komplexprodukt $U V$ zweier Untergruppen $U$ und $V$ ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von $V$ und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von $U$ :

$UV = \bigcup_{u \in U} uV = \bigcup_{v \in V} Uv$

Sind $U$ und $V$ endliche Untergruppen, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

$|UV| = \frac{|U|\cdot|V|}{|U \cap V|}$

Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen U und V, dass UV genau dann eine Gruppe ist, wenn UV=VU gilt. Ist U oder V ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
Das Komplexprodukt von Nebenklassen $g N$ und $h N$ eines Normalteilers $N$ ist $gN \cdot hN = (gh)N$ . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von $G$ nach $N$ .
Ist $N$ Normalteiler und $U$ Untergruppe von $G$ , die die Eigenschaften $N\cap U=\{e\}$ und $N\cdot U = G$ haben, dann ist $G$ das innere semidirekte Produkt von $N$ mit $U$ .
Die Potenzmenge einer Gruppe ist zusammen mit dem Komplexprodukt keine Gruppe, aber immerhin noch ein Monoid, insbesondere ist das Komplexprodukt assoziativ, d. h.

$(M N) P = M (N P)$ .

Siehe auch

Produkt von Gruppen

Literatur

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

Kategorie:

Gruppentheorie

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Normale Untergruppe — Ein Normalteiler oder eine normale Untergruppe ist in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine spezielle Untergruppe einer Gruppe, mit deren Hilfe Faktorgruppen der Gruppe gebildet werden können, wodurch die Strukturuntersuchung… … Deutsch Wikipedia
Normalteilerverband — Ein Normalteiler oder eine normale Untergruppe ist in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine spezielle Untergruppe einer Gruppe, mit deren Hilfe Faktorgruppen der Gruppe gebildet werden können, wodurch die Strukturuntersuchung… … Deutsch Wikipedia
Normalteiler — In der Gruppentheorie ist ein Normalteiler oder eine normale Untergruppe eine spezielle Untergruppe einer Gruppe. Mit ihrer Hilfe können Faktorgruppen der Gruppe gebildet werden. Dadurch kann die Strukturuntersuchung von Gruppen auf weniger… … Deutsch Wikipedia
Ideale Zahl — In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R Linearkombinationen ist. Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen… … Deutsch Wikipedia
Linksideal — In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R Linearkombinationen ist. Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen… … Deutsch Wikipedia
Rechtsideal — In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R Linearkombinationen ist. Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen… … Deutsch Wikipedia
Zweiseitiges Ideal — In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R Linearkombinationen ist. Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen… … Deutsch Wikipedia
Ideal (Ringtheorie) — In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R Linearkombinationen ist. Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen… … Deutsch Wikipedia
Quotientengruppe — Die Faktorgruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers gebildet wird. Sie wird mit G / N bezeichnet. Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beispiel … Deutsch Wikipedia
Restklassengruppe — Die Faktorgruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers gebildet wird. Sie wird mit G / N bezeichnet. Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beispiel … Deutsch Wikipedia

Academic dictionaries and encyclopedias

Komplexprodukt

Eigenschaften

Siehe auch

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Academic dictionaries and encyclopedias

Deutsch Wikipedia

Komplexprodukt

Eigenschaften

Siehe auch

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Direct link