Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist $(G,\cdot)$ eine Gruppe und sind $M$ und $N$ Teilmengen von $G$ , dann ist das Komplexprodukt von $M$ mit $N$ definiert als

$M\cdot N := \{m\cdot n\mid m\in M, n\in N\}$ .

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

$\begin{align} MN & := M\cdot N\\ gN & := \{g\}\cdot N\\ Mg & := M\cdot \{g\}\end{align}$

üblich, wobei $g$ ein Element der Gruppe ist.

Da die obige Definition nur das Vorhandensein einer zweistelligen Verknüpfung voraussetzt, kann das Komplexprodukt auch in allgemeineren Strukturen betrachtet werden, zum Beispiel in Halbgruppen.

Eigenschaften

Das Komplexprodukt $U V$ zweier Untergruppen $U$ und $V$ ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von $V$ und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von $U$ :

$UV = \bigcup_{u \in U} uV = \bigcup_{v \in V} Uv$

Sind $U$ und $V$ endliche Untergruppen, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

$|UV| = \frac{|U|\cdot|V|}{|U \cap V|}$

Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen U und V, dass UV genau dann eine Gruppe ist, wenn UV=VU gilt. Ist U oder V ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
Das Komplexprodukt von Nebenklassen $g N$ und $h N$ eines Normalteilers $N$ ist $gN \cdot hN = (gh)N$ . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von $G$ nach $N$ .
Ist $N$ Normalteiler und $U$ Untergruppe von $G$ , die die Eigenschaften $N\cap U=\{e\}$ und $N\cdot U = G$ haben, dann ist $G$ das innere semidirekte Produkt von $N$ mit $U$ .
Die Potenzmenge einer Gruppe ist zusammen mit dem Komplexprodukt keine Gruppe, aber immerhin noch ein Monoid, insbesondere ist das Komplexprodukt assoziativ, d. h.

$(M N) P = M (N P)$ .

Siehe auch

Produkt von Gruppen

Literatur

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

Kategorie:

Gruppentheorie

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