- Kongruenzrelation
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In der Mathematik versteht man unter einer Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur, die mit den Operationen dieser algebraischen Struktur verträglich ist.
Definition
Sei A eine Menge, θ eine Äquivalenzrelation auf A und
sei eine n-stellige Operation (Funktion) auf A. Man nennt θ und f verträglich, falls für alle
mit
immer
gilt.
Sei nun
eine algebraische Struktur mit Grundmenge A und Operationenmenge F. θ wird Kongruenzrelation auf
genannt, falls θ mit allen
verträglich ist.
Anwendung
Aus einer algebraischen Struktur
und einer Kongruenzrelation θ auf dieser algebraischen Struktur kann eine neue algebraische Struktur
gewonnen werden, die sogenannte Faktoralgebra, dabei ist die Grundmenge von
gerade die Faktormenge A / θ und die für jede n-stellige Operation
von
wird eine neue Operation
auf
definiert durch
Beispiele
- Für alle algebraischen Strukturen sind
(genannt Diagonale oder Identität) und
(genannt Allrelation) immer Kongruenzrelationen.
- Ist
ein Homomorphismus zwischen den beiden algebraischen Strukturen
und
. Definiere
. Dann ist Kernφ eine Kongruenzrelation auf A.
- Sei
eine Gruppe, N ein Normalteiler dieser Gruppe. θN sei diejenige Äquivalenzrelation auf G mit den Äquivalenzklassen
, dann ist θN eine Kongruenzrelation auf
. Man kann sogar zeigen, dass
eine bijektive Abbildung zwischen den Normalteilern und den Kongruenzrelationen einer Gruppe ist. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen genau den Normalteilern.
- Die analoge Aussage wie oben gilt auch für Ideale von Ringen und für Unterräume von Vektorräumen. (Sprich: Die von Idealen bzw. Unterräumen bestimmten Äquivalenzklassen entsprechen genau den von Kongruenzrelationen bestimmten Klassen).
- Infolge dessen gibt es für Algebren und Kongruenzen auch einen Homomorphiesatz sowie die beiden Isomorphiesätze. Sie stellen eine Verallgemeinerung der von Gruppen (und Ringen bzw. Vektorräumen) bekannten Sätze dar, sodass der Homomorphiesatz bei den Gruppen in größerem Kontext gesehen werden kann.
Homomorphiesatz (für Algebren): Sind
und
zwei Algebren gleichen Typs (d.h. gibt es zu jeder n-stelligen Funktion
genau eine "passende" n-stelligen Funktion
) und ist
ein Algebrenhomomorphismus mit Kern θφ, so gilt:
Ebenso könnte man die Isomorphiesätze formulieren, für die man zuerst geeignet den Begriff der Faktorkongruenz benötigt.
- Für alle algebraischen Strukturen sind
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