Kreis des Apollonios

In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis) ein spezieller geometrischer Ort, nämlich die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem apollonischen Problem, einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen Apollonios von Perge.

Satz und Definition

Kreis des Apollonios

• Gegeben seien eine Strecke [AB] und eine positive reelle Zahl $\lambda \ne 1$. Dann ist die Punktmenge
  $k_A = \{X | \overline{AX} : \overline{XB} = \lambda\}$
  ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke [AB] im Verhältnis λ. Diese beiden Punkte (T_i und T_a) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke [AB] harmonisch. Ist nun X ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft $\overline{AX} : \overline{XB} = \lambda$, so teilt die Gerade XT_i die gegebene Strecke [AB] im Verhältnis $\overline{XA} : \overline{XB}$. XT_i muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels AXB übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade XT_a den Nebenwinkel von $\angle AXB$ halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss X auf dem Thaleskreis über [T_iT_a] liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt X des genannten Thaleskreises die Bedingung $\overline{AX} : \overline{XB} = \lambda$.

Im speziellen Fall λ = 1 ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere Eigenschaften

• Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt $r_A = \tfrac{\lambda}{|\lambda^2-1|} \overline{AB}$.

• Der durch T_i gehende Apollonioskreis für die Strecke [AB] ist der durch T_i gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte A,B zueinander invers sind.

• Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert, und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig, insbesondere auch der über [AB] geschlagene Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung - teilt ein Punktpaar ein anderes (sc. die von dem andern gebildete Strecke) harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis $\tfrac {\lambda + 1} {\lambda - 1}$ statt λ ) - ist der Kreis über [AB] Apollonioskreis für die Strecke [T_iT_a].

Weblinks

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf (PDF-Datei; 261 kB)