Einsteinsche Mannigfaltigkeit
- Einsteinsche Mannigfaltigkeit
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Die Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.
Definition
Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante λ existiert, so dass

gilt. Dabei ist
der (0,2)-Ricci-Tensor und
für jedes
Die pseudo-riemannsche Metrik g heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.
Eigenschaften
- Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen
von eigenständigem Interesse, da sie für n = 2 und n = 3 mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
- Sei
Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch, genau dann, wenn für jedes
eine Konstante λp (in Abhängigkeit von p) existiert, so dass
-

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier λ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
- Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante λ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante λ.
-

mit der kosmologischen Konstante Λ und dem Krümmungsskalar sp ist. Durch Spurbildung in der Gleichung
erhält man
-
- sp = nλ,
dabei bezeichnet n die Dimension der Mannigfaltigkeit.
Literatur
- Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).
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