Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante λ existiert, so dass

$\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)$

gilt. Dabei ist $\operatorname{Ric}_p$ der (0,2)-Ricci-Tensor und $X,Y \in T_pM$ für jedes $p \in M.$ Die pseudo-riemannsche Metrik g heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $n \geq 4$ von eigenständigem Interesse, da sie für n = 2 und n = 3 mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei $n \geq 3.$ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch, genau dann, wenn für jedes $p \in M$ eine Konstante λ_p (in Abhängigkeit von p) existiert, so dass

$\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda_p \,g_p(X,Y)$

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier λ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante λ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante λ.

• Die Definition der Einsteinmetrik g ergibt sich aus der Aussage, dass g eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

$\operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0$

mit der kosmologischen Konstante Λ und dem Krümmungsskalar s_p ist. Durch Spurbildung in der Gleichung $\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)$ erhält man

s_p = nλ,

dabei bezeichnet n die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).