Annuitätendarlehen

Tilgungs- und Zinsanteil einer Annuität (100.000 €, gesamte Laufzeit bei 5 % Zinsen und 2 % anfänglicher Tilgung). Die Annuität von 7.000 € (anfänglich 2.000 € Tilgung und 5.000 € Zinsen) bleibt, bis auf die letzte Rate, über die gesamte Laufzeit gleich. Dies wird auch ersichtlich, indem man den roten und den blauen Balken für ein beliebiges Jahr addiert.

Ein Annuitätendarlehen ist ein Darlehen mit konstanten Rückzahlungsbeträgen (Raten). Im Gegensatz zum Tilgungsdarlehen bleibt die Höhe der zu zahlenden Rate über die gesamte Laufzeit gleich (sofern eine Zinsbindungsfrist über die gesamte Laufzeit vereinbart wurde). Die Annuitätenrate oder kurz Annuität setzt sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammen. Da mit jeder Rate ein Teil der Restschuld getilgt wird, verringert sich der Zinsanteil zugunsten des Tilgungsanteils. Am Ende der Laufzeit ist die Kreditschuld vollständig getilgt.

Der Zinssatz wird bei Abschluss eines Annuitätendarlehens über einen vertraglich vereinbarten Zeitraum festgeschrieben. Dieser Zeitraum kann sich auch über die komplette Kreditlaufzeit erstrecken. Die Tilgung sollte im ersten Jahr mindestens 1 Prozent der Kredit(rest)summe betragen. Sie steigt dann mit fortschreitender Ratenzahl bis auf theoretisch 100 % der Kreditrestsumme im letzten Jahr.

Bestimmung der Annuität

Die Höhe R der (jährlichen) Annuität eines Kredites mit der Kreditsumme S₀ bei einem Zinssatz von i (z. B. 5 Prozent $\Rightarrow i = 0{,}05$) und einer Laufzeit von n Jahren lässt sich mittels

$R = S_0 \cdot \frac{i\cdot(1+i)^n}{(1+i)^n-1} = S_0 \cdot \frac{i \cdot q^n}{q^n-1}$

berechnen, wobei q = 1 + i gilt. $\frac{i \cdot q^n}{q^n-1}$ heißt dabei Wiedergewinnungs-, beziehungsweise Annuitätenfaktor ($WGF^n_{n,i}$, bzw. $ANF^n_{n,i}$) und ist gleich dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors.

Die Annuitätenformel in Worten besagt

$\text{Annuitaet} = \text{Kreditsumme} \cdot \frac{\text{Zinssatz} \cdot (1 + \text{Zinssatz})^\text{Laufzeit}}{(1 + \text{Zinssatz})^\text{Laufzeit}-1}.$

Bestimmung der Laufzeit

Will man die Laufzeit in Abhängigkeit von i, S₀ und R berechnen, so muss man lediglich die obige Formel für die Annuität nach n auflösen. Man erhält hierbei

$n = -\frac{\ln(1-\frac{i \cdot S_0}{R})}{\ln(1+i)}.$

Alternativ lässt sich die Laufzeit auf die folgende Weise berechnen:

Ersetzt man in der Formel für die Annuität R durch die sich aus vorgegebenem Zinssatz und Tilgung ergebende Höhe der Annuität $S_0 \cdot(i+t)$, wobei t dem Tilgungssatz entspricht (t = R / S₀ − i), erhält man durch Umformung die einfache Beziehung

$n = \frac{\ln (1 + \frac{i}{t})}{\ln(1+i)}$

zur Bestimmung der Laufzeit in Jahren.

Die Laufzeit ist also nur abhängig von Zins- und anfänglichem Tilgungssatz und nicht von der Kreditsumme.

Findet die Zahlung der Raten mehrmals im Jahr statt, ergibt sich die leicht veränderte Formel

$n = \frac{\ln (1 + \frac{i}{t})}{\ln(1+\frac{i}{m})}$

für die Gesamtzahl der Raten (nicht Jahre). Hierbei entspricht m der Anzahl der Raten pro Jahr.

Die Berechnungen gelten für einen angenommenen, über die gesamte Laufzeit gleichbleibenden, Zinssatz. Die tatsächliche Laufzeit kann deshalb in der Praxis unter Umständen erheblich von der vorausberechneten abweichen.

Bestimmung der Tilgungsraten

Bei Analyse eines Tilgungsplans lässt sich erkennen, dass die Tilgungsraten T_t eine geometrische Folge mit dem Zinsfaktor q bilden:

$T_t = T_1 \cdot q^{t-1}$

Somit lassen sich die Tilgungsraten aller Perioden auf die erste Tilgungsrate T₁ zurückführen. Diese lässt sich leicht über zwei alternative Möglichkeiten bestimmen:

Bei bekannter Annuität R	Bei bekannter Laufzeit n
Annuität ist als Summe von Tilgungsrate und Zins definiert, daher gilt für die erste Tilgungsrate: $\!\,T_1 = R - Z_1,$ wobei $Z_1 = S_0 \cdot i$	Die Summe aller Tilgungsraten Tt über die Laufzeit n muss der Kreditsumme S0 entsprechen, also: $S_0 = \sum_{t=1}^{n}T_t = \sum_{t=1}^{n}T_1 \cdot q^{t-1} = T_1 \sum_{t=1}^{n}q^{t-1}$ Die Summe lässt sich mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen in folgenden geschlossenen Ausdruck überführen: $S_0 = T_1 \frac{q^n-1}{q-1}$ Nach T1 aufgelöst, ergibt sich schliesslich $T_1 = S_0 \cdot \frac{q-1}{q^n -1}$
Nun kann T1 in der obigen Formel durch den jeweiligen Ausdruck ersetzt werden:
$T_t = (R - S_0 \cdot i) q^{t-1}$	$T_t = S_0 \cdot \frac{q-1}{q^n -1} q^{t-1}$

Weitere Formeln

Die Restschuld S_t nach t Perioden lässt sich berechnen durch

$S_t = S_0 \cdot \frac{q^n - q^t}{q^n-1}.$

Wenn statt der Laufzeit n die Annuität R bekannt ist, dann lässt sich die Restschuld S_t nach t Perioden berechnen durch:

$S_t = S_0 \cdot q^t + R \cdot \frac{1 - q^t}{i}.$

Die Zinszahlung der t-ten Periode (Z_t) ergeben sich aus der Restschuld am Ende der vorhergehenden Periode multipliziert mit dem Zinssatz i:

$Z_t = S_{t-1} \cdot i = S_0 \cdot \frac{q^n - q^{t-1}}{q^n - 1} \cdot i.$

Interessant ist auch die Summe der zu leistetenden Zinszahlungen bis zur Tilgung des Annuitätendarlehens:

$Z_{cum} = \sum_{t=1}^{n} Z_t = S_0 (n \frac{q - 1}{q^n - 1}q^n - 1).$

Die Tilgungsrate in der t-ten Periode (T_t) ist gegeben durch die Differenz zwischen Annuität R und Zinszahlung Z_t:

$T_t = R - Z_t = S_0 \cdot \frac{q^{t-1}}{q^n - 1} \cdot i.$

Bei Annuitätentilgung nimmt die Tilgung exponentiell zu.

Unterjährige Annuitätentilgung

Mit den Formeln der unterjährigen Annuitätentilgung lassen sich auch die Darlehensfälle berechnen, bei denen die Zahlung der Annuität statt einmal am Jahresende mehrmals jährlich stattfindet, zum Beispiel vierteljährlich oder monatlich. Die Anzahl der Zahlungstermine pro Jahr werde mit m bezeichnet.

Frühzeitige Zahlungen ergeben einen Zinsvorteil des Kreditgebers. Die Summe dieser Zahlungen wird nur zur Hälfte verzinst. Die m − 1 Zahlungen innerhalb des Jahres werden dabei nur als Tilgung betrachtet und enthalten keinen Zinsbestandteil, erst der letzten Zahlung am Jahresende wird der in diesem Jahr aufgelaufenen Zins zugeschlagen.

Die einzelne Annuität r, die m-mal jährlich gezahlt wird, beträgt bei einem Zinssatz von i p.a. und einer nachschüssigen Ratenzahlung

$r = \frac{R}{m + \frac{i}2 \cdot (m - 1)}.$

Bei einer vorschüssigen Ratenzahlung gilt:

$r = \frac{R}{m + \frac{i}2 \cdot (m + 1)}.$

Die Jahresannuität R wird auch als jahreskonforme Ersatzrente bezeichnet und ist immer eine nachschüssige Jahresrente. Sie berechnet sich wie bei der jährlichen Annuitätentilgung als Produkt aus Kreditsumme und Annuitätenfaktor. Die Formel unterstellt den Regelfall der linearen Verzinsung bei unterjährigen Laufzeiten.

Anwendungsgebiete

Privatdarlehen von Banken und Sparkassen werden oft als Annuitätendarlehen vergeben, da die gleich bleibende Rate eine gute Kalkulationsgrundlage für den Kunden bietet.

Das Annuitätendarlehen ist eine Form der Immobilienfinanzierung. In Deutschland wird der Zinssatz üblicherweise für fünf, zehn oder fünfzehn Jahre festgeschrieben. Danach kann der Vertrag gekündigt werden bzw. ein neuer Zinssatz für die Weiterführung des Vertrages muss verhandelt werden.

Alternativ kann auch ein variabler Zinssatz vereinbart werden, der in regelmäßigen Abständen aktualisiert wird, etwa in Abhängigkeit vom EURIBOR oder einem anderen Index. Eine weitere Option ist es, die Annuitäten durch gleich bleibende Monatsraten zu ersetzen, bei denen jeweils ein Zwölftel des nominalen Jahreszinssatzes zu zahlen ist. Diese Kombination (monatliche Tilgung bei gleich bleibenden Raten, die jedoch jährlich von Zinsänderungen betroffen werden können) ist etwa in Spanien die üblichste Form. Da hierbei der Kunde mehr Risiko trägt, werden weitaus niedrigere Zinssätze verlangt (2005: unter 3 % effektiver Jahreszins).

Siehe auch Hypothek und Grundschuld.

Siehe auch

• Endfälliges Darlehen
• Rentenrechnung
• Sparkassenformel
• Zinsrechnung

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