Drehgruppe

Die Drehgruppe im engeren Sinn ist die spezielle orthogonale Gruppe $\mathop{\mathrm{SO}}(n)$ oder auch $\mathop{\mathrm{SO}}(n,\mathbb R)$ aller Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum (falls n = 3) oder in der reellen Ebene (falls n = 2). Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen A mit

A ^{− 1} = A^T

und Determinante Eins.

Daneben wird eine Untergruppe dieser reellen Gruppen als Drehgruppe einer zwei- oder dreidimensionalen Figur bezeichnet, wenn sie alle Drehungen umfasst, die die Figur auf sich selbst abbilden, also die Untergruppe der Drehungen in der Symmetriegruppe des Körpers bzw. der Figur ist. Zur Unterscheidung wird die $\mathop{\mathrm{SO}}(n)$ die volle n-dimensionale Drehgruppe genannt.

Im weiteren und übertragenen Sinn werden die speziellen orthogonalen Gruppen, das sind die Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe $\mathop{\mathrm{GL}} (n ,\R)$, deren Element unimodulare orthogonale Matrizen sind, auch für höhere Dimensionen $n\in\N$ als (volle) Drehgruppen bezeichnet. Noch allgemeiner wird gelegentlich bei einem beliebigen kommutativen Ring mit Eins R und einer natürlichen Zahl n die Gruppe der Drehungen des Rⁿ als spezielle orthogonale Gruppe SO(n,R) des R-Moduls Rⁿ bezeichnet.

Eigenschaften

Jede reelle volle Drehgruppe ist eine Lie-Gruppe. Eine Topologie bekommt sie in kanonischer Weise als Matrixgruppe und dadurch ist auch ihre Liegruppenstruktur definiert. Jede volle Drehgruppe $\mathop{\mathrm{SO}}(n, \R)$ ist eine kompakte topologische Gruppe.

Die Lie-Algebra der SO(3) ist die $\mathfrak{so}(3)$. Sie ist eine reelle Form der Lie-Algebra sl(2,C). Letztere ergibt die auf $\mathbb C^2$ definierte SU(2), eine Überlagerungsgruppe vom Grad 2 zur SO(3).

Drehgruppen von Figuren

Das Wort „Drehgruppe“ wird auch dazu benutzt, um die Untergruppe der Symmetrien eines geometrischen Körpers zu bezeichnen, die aus Drehungen besteht. Diese Drehgruppe ist dann eine (meist endliche) Untergruppe der $\mathrm{SO}_3(\mathbb R)$ (oder der $\mathrm{SO}_2(\mathbb R)$) und besteht genau aus den Drehungen, die den Körper in sich selbst überführen.

Beispiele

• Im Raum

1. Die Symmetriegruppe des Tetraeders ist isomorph zur symmetrischen Gruppe auf der vierelementigen Menge der Ecken des Tetraeders, die Untergruppe der Drehungen (die Drehgruppe des Tetraeders, ein Normalteiler in dessen Symmetriegruppe) ist isomorph zur alternierenden Gruppe A₄.
2. Die Drehgruppe des Würfels und die des Oktaeders sind isomorph zur symmetrischen Gruppe S₄.
3. Die Drehgruppe des Dodekaeders und des Ikosaeders ist isomorph zur alternierenden Gruppe A₅.

• In der Ebene

1. Die Symmetriegruppe einer Strecke stimmt mit ihrer Drehgruppe überein und ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S₂.
2. Die Drehgruppe eines regulären Vielecks mit n Ecken ist die zyklische Gruppe $\Z / n Z$. Diese ist ein Normalteiler in der entsprechenden Symmetriegruppe, der Diedergruppe D_n.

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8