Lineare Trennbarkeit

Lineare Trennung im zwei-dimensionalen Raum.

In der Mathematik bezeichnet man zwei Mengen eines n-dimensionalen Vektorraumes als linear separierbar (auch: trennbar), wenn eine Trennebene als Hyperebene existiert, die sie trennt. Im zwei dimensionalen Raum bedeutet dies, dass zwischen die Mengen eine Gerade gelegt werden kann.

Formale Definition

Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{R}$- Vektorraum. $A \subseteq V, B \subseteq V$ heißen linear separierbar, wenn n+1 reelle Zahlen $w_1\dots w_{n+1}$existieren, mit: $\vec{a}=(a_1,\dots ,a_n) \in A, \vec{b}=(b_1,\dots ,b_n) \in B$ gilt $\sum_{i=1}^nw_ia_i \le w_{n+1} \le \sum_{j=1}^nw_jb_j$

Die Punkte aus V, für die gilt $\sum_{i=1}^nw_ix_i = w_{n+1}$ bilden die separierende Hyperebene.

Linear separierbare Funktionen

Lineare Separierbarkeit von Funktionen

Binäre Funktionen (d.h. $f:V\rightarrow \{0,1\}$) heißen linear separierbar, wenn die Urbilder von 0 und 1 separierbar sind. Die linear separierbare Funktionen spielen beim maschinellen Lernen eine Rolle. So kann zum Beispiel das einfache Perzeptron nur linear trennbare Funktionen lernen.

Ein Beispiel für eine nicht linear separierbare Funktion ist die XOR-Verknüpfung. Wie das Schaubild zeigt, ist eine lineare Trennung der beiden Ergebniswerte nicht möglich.

Siehe auch

Die lineare Separierbarkeit disjunkter konvexer Mengen, die im 2 oder 3-dimensionalen Anschauungsraum plausibel ist, wird im Trennungssatz behandelt. Dieser beinhaltet auch Verallgemeinerungen auf unendlich-dimesionale Räume.