Spannungszeitfläche

Unter elektromagnetischer Induktion (kurz: Induktion) versteht man das Entstehen einer elektrischen Spannung entlang einer Leiterschleife durch die Änderung des magnetischen Flusses. Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemühen die Funktionsweise eines Elektromagneten („Strom erzeugt Magnetfeld“) umzukehren („Magnetfeld erzeugt Strom“) entdeckt. Der Zusammenhang wird in seiner integrierten Form auch als das faradaysche Gesetz bezeichnet und ist Teil der maxwellschen Gleichungen.

Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektrischen Maschinen wie Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren genutzt. Bei den meisten dieser Anwendungen treten Wechselspannungen auf. Es gibt aber auch Anwendungen, bei denen direkt und ohne eine Gleichrichtung Gleichspannungen durch die elektromagnetische Induktion entstehen, wie es bei der Unipolarinduktion der Fall ist.

Zwei verschiedene Betrachtungsweisen der Induktion sind üblich: Die erste erklärt die Induktion mit Hilfe der Lorentzkraft und der Kraftwirkung auf bewegte elektrische Ladungsträger wie Elektronen. In bestimmten Situationen, wie bei magnetischen Schirmen oder der Unipolarinduktion, kann diese Vorstellung allerdings mit Problemen im Verständnis verbunden sein. Das zweite übliche Modell bedient sich Methoden aus der Feldtheorie und erklärt den Induktionsvorgang mit Hilfe der Änderung von magnetischen Flüssen und den damit verknüpften magnetischen Flussdichten.

Michael Faraday - Entdecker der Induktion

Allgemeines

Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion, kurz Induktionsgesetz, beschreibt, unter welchen Bedingungen eine elektrische Spannung entlang einer elektrischen Leiterschleife hervorgerufen (induziert) wird. Eine Leiterschleife kann beispielsweise in Form einer Spule realisiert sein.

Die zum Verständnis sinnvolle vektorielle Beschreibung gliedert sich in zwei mögliche Darstellungsformen:

1. Die Integralform oder auch globale Form des Induktionsgesetzes. Dabei werden die globalen Eigenschaften eines räumlich ausgedehnten Feldgebietes, über den Integrationsweg, beschrieben.
2. Die Differentialform oder auch lokale Form des Induktionsgesetzes. Dabei werden die Eigenschaften einzelner lokaler Feldpunkte in Form von Dichten beschrieben. Die Volumina der globalen Form streben gegen Null, und die auftretenden Feldstärken werden differenziert.

Beide Darstellungsformen beschreiben denselben Sachverhalt. Je nach konkretem Anwendungsfall und Problemstellung kann es sinnvoll sein, die eine oder die andere Form zu benutzen. Im Folgenden sind beide Darstellungsformen beschrieben.

Induktionsgesetz in Integralform

Grundvorstellung zur elektromagnetischen Induktion: Eine sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichte vom Betrag B ist durch ein elektrisches Wirbelfeld vom Betrag E umgeben. Die nicht dargestellte Leiterschleife (Kontur) C liegt in diesem einfachen Modell in der Ebene, welche vom elektrischen Wirbelfeld aufgespannt wird.

Ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluss induziert in einer ihn umgebenden Leiterschleife eine Spannung U_ind. Diese Spannung lässt sich mittels eines Spannungsmessgerätes messen, wenn man die geschlossene Leiterschleife auftrennt. Die eigentliche Induktionswirkung kommt dadurch zustande, dass ein sich zeitlich ändernder Fluss dΦ/dt von einem elektrischen Wirbelfeld mit in sich geschlossenen Feldlinien umgeben ist. Dieses elektrische Wirbelfeld E_tan, es spielt nur die tangentiale Feldkomponente eine Rolle, führt entlang eines infinitesimalen Stückes dr der Leiterschleife zu einer induzierten Spannung dU_ind:

$\!\,\mathrm{d}U_\text{ind} = E_\text{tan} \mathrm{d}r$

Durch Aufsummieren aller infinitesimalen Spannungen längs der Leiterschleife ergibt sich die zwischen den Punkten r_A und r_B induzierte Spannung:

$U_\text{ind} = \int_{r_A}^{r_B} E_\text{tan} \mathrm{d}r$

Zieht man nun gedanklich die beiden Punkte r_A und r_B zusammen, so strebt die in der geschlossenen Leiterschleife mit der Kontur C (r_A = r_B) induzierten Spannung zu der induzierten Umlaufspannung U_ind:

$U_\text{ind} = \oint_{C} E_\text{tan} \mathrm{d}r = \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$

Der dritte Ausdruck ist die gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mit Hilfe des Skalarproduktes. Das Integral stellt ein sogenanntes Ringintegral dar und soll kennzeichnen, dass über einen gesamten Umlauf entlang der Schleife C integriert wird.

Die Umlaufspannung U_ind ist identisch mit der bei Transformatorberechnungen verwendeten Windungsspannung welche die induzierte Spannung für eine Windung angibt. Die praktische Bedeutung der Umlaufspannung liegt darin, dass sich mit ihrer Hilfe die in Windungen von elektrischen Maschinen induzierten Spannungen berechnen lassen. Die Umlaufspannung ist der zeitlichen Änderungsrate des magnetischen Flusses direkt proportional und somit auch ein Maß für die Wirbelstärke des elektrischen Wirbelfeldes.

Das negative Vorzeichen in obiger Gleichung ergibt sich aus der Lenzschen Regel: Die induzierte Feldstärke ist immer so gerichtet, dass eine von ihr bewirkte Stromänderung bzw. zugehörige Magnetfeldänderung der verursachenden Strom- bzw. Magnetfeldänderung entgegenwirkt.

Da sich Flüsse nicht einzelnen Raumpunkten sondern nur Flächen A zuordnen lassen, drückt man den magnetischen Fluss meist durch die entsprechende magnetische Flussdichte $\vec B$ aus:

$\Phi = \int \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A}$

, so dass sich das Induktionsgesetz in der üblichen integralen Form schreiben lässt als:

$U_\text{ind} = \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_A \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A}$

Für ruhende Leiter lässt sich die Reihenfolge der Integration bzw. Differentiation vertauschen.

Geschlossene elektrische Wirbelfelder existieren bei zeitlich veränderlichen magnetischen Flüssen nicht nur entlang der Leiterschleife sondern beispielsweise auch im Inneren des Eisenkernes eines Transformators. Sie sind dort die Ursache der meist unerwünschten Wirbelströme und der sogenannten Wirbelstromverluste.

Induktionsgesetz in Differentialform

Der Übergang von der Integralform in die Differentialform ist nichts anderes als die Überführung der globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten welche einzelnen Raumpunkten (Punkten eines Vektorfeldes) zugeordnet sind. In der Integralform sind es dimensionsbehaftete Zahlenwerte wie der magnetische Fluss, in der Differentialform des Induktionsgesetzes wird der Übergang auf Funktionen im Bezug zur Funktionentheorie vollzogen.

Ausgegangen wird vom globalen Induktionsgesetz für ruhende Körper, wobei die Einschränkung auf ruhende Körper im Folgenden wesentlich ist:

$U_\text{ind} = \oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = - \int_A \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{A}$

Wird nun die Fläche der Kontur C in jener Gleichung laufend verkleinert, man lässt sie gegen Null streben, um einen Punkt zu erhalten, strebt auch die zugehörige Wirbelstärke gegen Null. Ein Ausweg besteht darin, vor dem Übergang ein Verhältnis der Wirbelstärke mit der zugeordneten berandeten Fläche zu bilden und im weiteren mit diesem Verhältnis zu arbeiten. Der Wert dieses Punktes bleibt dann endlich und ist eine charakteristische Eigenschaft des betrachteten Feldpunktes, womit die lokale Form gebildet ist.

Mathematisch wird dieser Weg dahin beschritten, dass obige Gleichung in Relation (Verhältnis) mit einem vektoriellen Flächenelement A′, dessen Normalenvektor $\vec n$ in Flussrichtung zeigt, gesetzt wird, und dann eine Grenzwertbestimmung für A′ → 0 erfolgt. Damit entfällt die Integration durch das Flächenintegral:

$\lim_{A' \to 0} \vec{n} \frac{\oint_{C} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}}{A'} = \lim_{A' \to 0} \vec{n} \frac{- \frac{\partial}{\partial t} \oint_{A'} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{A}}{A'} = \lim_{A' \to 0} \vec{n} \frac{- \frac{\partial}{\partial t} \Phi'}{A'} = \lim_{A' \to 0} \vec{n} \frac{- \partial}{\partial t} \frac{\Phi'}{A'} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Die dabei auftretende und zunächst kompliziert wirkende Abfolge von links, beginnend mit Integration, gefolgt von der Division und Grenzwertbildung, drückt man in der Vektoranalysis zusammengefasst als speziellen Vektoroperator mit der Bezeichnung rot (für Rotation, engl. curl) aus, womit die differentielle Darstellung des Induktionsgesetzes die Form:

$\operatorname{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

annimmt. Die lokale Wirbeldichte $\operatorname{rot} \vec E$ des elektrischen Feldes $\vec E$ ist somit gleich der negativen zeitlichen Änderung der lokalen magnetischen Flussdichte $\vec B$.

Für die praktische Anwendung ist wichtig, dass sich die Vektoroperationen wie rot auf ein bestimmtes Koordinatensystem beziehen. Dies wurde in obiger Gleichung implizit durch den Normalenvektor von A′ vorweggenommen. Je nach frei wählbaren Koordinatensystem ergeben sich für die Vektoroperation verschiedene Darstellungen.

Anwendung auf verschiedene Geometrien

Das Induktionsgesetz beschreibt das Auftreten der Induktion bei verschiedenen Geometrien:

• Eine Leiterschleife dreht sich in einem konstanten B-Feld.
• Eine Leiterschleife wird von einem sich ändernden B-Feld durchsetzt.
• Eine Leiterschleife ändert die vom B-Feld durchsetzte Fläche.

Unterbrochene metallische Leiterschleife

Leiterschleife im Magnetfeld

Im einfachsten Fall liegt eine metallische Leiterschleife mit Unterbrechung vor. Da das Metall im Vergleich zu der Unterbrechung eine sehr gute elektrische Leitfähigkeit besitzt, fällt entlang der Leiterschleife (von 1' nach 1) keine elektrische Spannung aufgrund ihres elektrischen Widerstandes ab. Die gesamte Umlaufspannung tritt an den Klemmen als Spannung

$u_{11'}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$

auf.

Bei Zunahme des B-Felds während des Zeitschrittes dt, liegt eine Vergrößerung des Magnetischen Flusses $\Phi = \int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$ vor, da das B-Feld und die Fläche dA in die gleiche Richtung zeigen. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend, ist die Spannung u_11' negativ.

Bei Abnahme des B-Felds während des Zeitschrittes dt, liegt eine Verringerung des Flusses $\Phi = \int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$ vor. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung u_11' positiv.

Bei der Beschreibung wurde selbstverständlich eine Integration in positiver Zeitrichtung (dt > 0) vorausgesetzt.

Geschlossene ideal-leitende Leiterschleife

Kurzschlussschleife

Eine geschlossene Leiterschleife mit idealer Leitfähigkeit verhindert, dass sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ändert, denn wegen der idealen Leitfähigkeit des Metalls ist das Umlaufintegral der Spannungen gleich Null, und es gilt:

$0 = -\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$

Das Entstehen der Flussänderung wird durch die in der Leiterschleife induzierten Ströme verhindert.

In der Praxis ist der elektrische Widerstand der Kurzschlussschleife geringfügig größer als Null. Beträgt der elektrische Widerstand des Leiters R, so gilt:

$R \cdot i(t) = -\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$

Wegen des geringen Widerstands des elektrischen Leiters fließen hohe elektrische Ströme, die dem magnetischen Feld die Momentanleistung $P(t)=R \cdot i^2(t)$ entziehen und die Leiterschleife erhitzen. Nach diesem Prinzip arbeiten u. a. Induktionsbremsen und Induktionsherde. Bei Induktionsbremsen stammt die Energie, die für die Aufrechterhaltung des B-Feldes kommt, aus der Bewegung des zugehörigen Fahrzeugs. Diese nimmt stetig ab, bis das Fahrzeug sich verlangsamt hat. Bei Induktionsherden stammt die Energie zur Aufrechterhaltung des Magnetfeldes aus dem Haushaltsnetz.

Die Aussage, dass der Strom i(t) seiner Ursache entgegenwirkt, ist im Sinne des gewählten Beschreibungsmodells problematisch. Tatsächlich fließt bei steigendem magnetischen Fluss wegen des Minuszeichens im Induktionsgesetz ein Strom entgegen der eingezeichneten positiven Stromrichtung. Dieser Strom erzeugt gemäß dem Durchflutungssatz eine magnetische Feldstärke H, die andersherum zeigt als das B-Feld. Es ist jedoch zu beachten, dass das Induktionsgesetz nicht zwischen Selbsterregung und Fremderregung unterscheidet. Insofern ist die Kompensationswirkung des induzierten Stromes schon im magnetischen Fluss $\Phi=\int_A\vec B\;\cdot \mathrm d\vec A$, der in das Induktionsgesetz eingeht, enthalten.

Ist das B-Feld von außen aufgeprägt, so ändert sich der Fluss durch den entstehenden induzierten Strom nicht. Vielmehr kompensiert die Quelle, die das Magnetfeld erzeugt, die durch den induzierten Strom erzeugte Flussänderung instantan, indem sie zusätzliche Energie zur Aufrechterhaltung des B-Feldes bereitstellt.

Diese Situation liegt in sehr guter Näherung beispielsweise beim Transformator mit eingeprägter Primärspannung vor. Sobald im Sekundärkreis ein Strom fließt, erhöht sich in der primärseitigen Spannungsquelle der Quellenstrom, so dass der magnetische Fluss im gemeinsamen Kern konstant bleibt.

Induktionsspannung durch Bewegen eines elektrischen Leiters in einem Magnetfeld (1. Induktionsphänomen)

Wenn ein elektrischer Leiter in einem Magnetfeld bewegt wird, entsteht wegen der Verschiebung der Elektronen eine Induktionsspannung zwischen den Leiterenden. Die Ursache dafür ist die Lorentzkraft, die auf im Magnetfeld bewegte Ladungen wirkt. Somit werden sie getrennt.

Die induzierte Spannung berechnet sich aus dem Kräftegleichgewicht:

F_Lorentz = F_elektrisch

Wegen

$\vec{F}_\text{Lorentz} = q \vec{v} \times \vec{B}$

und

$F_\text{elektrisch} = \frac{U}{l} \cdot q$

gilt für die induzierte Spannung zwischen den Leiterenden eines geraden elektrischen Leiters der Länge l, wenn die Geschwindigkeit des Leiters sowohl senkrecht zu ihm selbst als auch zum Magnetfeld ist:

$U_\text{ind} = v \cdot B \cdot l$.

Induktionsspannung durch Änderung des magnetischen Flusses (2. Induktionsphänomen)

Jedes Flächenstück besitzt einen Normalenvektor A, der mit der Fläche ein Lot bildet. Eine Fläche soll die Spule sein

Induktionen treten nicht nur auf, wenn sich elektrische Leiter in einem Magnetfeld bewegen, sondern auch, wenn sich das magnetische Feld verändert. Um dies zu verstehen, muss man eine Modellgröße einführen: den magnetischen Fluss. Dieser ist für ein homogenes Feld definiert als:

$\Phi = \vec B \cdot \vec A = B\cdot A\cdot \cos\left(\vec B, \vec A\right)$

wobei A die Fläche der Stromschleife, deren Raumorientierung durch ihren Normalenvektor $\vec A$ angegeben ist. Das Skalarprodukt wird zur mathematischen Weiterbehandlung in das Produkt der Beträge von B, A und dem Cosinus des Zwischenwinkels umgewandelt.

Wenn sich der Fluss Φ im Lauf der Zeit ändert, entsteht Induktionsspannung, deren Wert (pro Windung) man durch Differenzieren erhält:

$U_\text{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}= -\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\cdot A\cdot \cos\left(\vec B, \vec A\right) -B\cdot \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\cdot \cos\left(\vec B, \vec A\right) +B\cdot A\cdot \sin\left(\vec B, \vec A\right)\cdot\omega$

• Der erste der drei Summanden beschreibt den Transformator: Die erzeugte Spannung ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit dB/dt der Flussdichte B und zur Spulenfläche A. Als dritter Faktor kommt die Orientierung des Magnetfeldes dazu: Wenn B quer durch die Spulenfläche tritt, also parallel(!) zum Vektor $\vec A$ ist, ist die induzierte Spannung maximal, denn der Cosinus kann nicht größer als 1 werden. Kippt man die Spule um 180°, ändert sich das Vorzeichen der Spannung, weil der Cosinus dann den Wert -1 hat. Wenn die B-Feldlinien parallel zur Fläche laufen, stehen sie senkrecht auf dem Vektor $\vec A$. Dann ist cos(90°) = 0 und es wird keine Spannung induziert. Beispiel: Das Magnetfeld ändere sich in 2 ms um 0,3 T, dann ist dB/dt = 150 T/s. Mit einer richtig orientierten Spulenfläche von 6 cm² erhält man 90 mV pro Windung.

• Der zweite Summand beschreibt einen ungewöhnlichen Vorgang: Die Fläche A einer Leiterschleife wird in einem konstanten Magnetfeld vergrößert oder verkleinert, ohne sie zu verkippen (der Winkel darf sich nicht ändern!). Auch dann wird eine Spannung induziert, das wird aber technisch nicht ausgenutzt, weil sich die Spule bald mechanisch auflösen würde. Einfacher ist es, die Fläche unverändert zu lassen und nur den „aktiven“ Teil - das ist der Flächenanteil, der vom Magnetfeld durchsetzt ist - zu variieren. Man zieht eine Leiterschleife aus einem B-Feld heraus oder schiebt sie hinein. Im allereinfachsten Fall bewegt man einen Draht quer durch ein Magnetfeld, und der Spannungsmesser steht außerhalb.

• Der dritte Summand beschreibt den elektrischen Generator: Magnetfeld und Spulenfläche sind konstant und die Spule dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Beispiel: Eine Spule der Fläche 6 cm² dreht sich in einem Magnetfeld von 0,5 T 100 mal pro Sekunde. Dieser Dynamo erzeugt 188 mV Scheitelspannung pro Windung.

Wenn man statt einer Leiterschleife eine Spule mit N Windungen verwendet, wird die Induktionsspannung um diesen Faktor N größer.

Spannungszeitfläche

Die schraffierte Fläche stellt eine beispielhafte Spannungszeitfläche über die Dauer einer ¼ Periode der Sinusschwingung dar.

Aus der obigen Beziehung

$U_\text{ind}= \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm dt} ;$

folgt durch Integration

$\Phi(t)=\int U_\text{ind}(t)\,\mathrm dt +C ;$

Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.

Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von 0 bis T bei konstanter Fläche, durch welchen der magnetische Fluss tritt – das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken –, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss

$\Phi=\int_0 ^T U_\text{ind}(t)\,\mathrm dt ;$

Das bedeutet, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, die sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit T dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen 0 bis T verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung U_ind. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich ohmscher Spannungsabfälle (I·R), soweit diese nicht zu vernachlässigen sind. Zu veranschaulichen ist dieses Integral auch als Fläche zwischen dem Spanungsgraphen und der Zeitachse zwischen den Grenzen 0 und T. Es wird deshalb auch als Spannungszeitfläche bezeichnet; neben diesem Begriff wird in meist älterer Literatur ^[1] auch der Begriff Spannungsstoß gebraucht. (Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischem Galvanometer durchgeführt wurde.)

Die daraus ableitbare Gesetzmäßigkeit lautet:

Magnetflussänderungen in einer Magnetspule und zugehörige Spannungszeitflächen an der Wicklung müssen sich grundsätzlich entsprechen.

Sofern dabei Spannungsquellen verwendet werden, kann dazu auch die Spannungszeitfläche der Quellenspannung herangezogen werden, soweit ohmsche Widerstände vernachlässigbar sind. Siehe auch Selbstinduktion. Praktische Bedeutung hat dies u. a. für die Berechnung des magnetischen Flusses in Trafokernen.

Die dafür relevante zugeschnittene Formel

$\Delta \Phi = \frac{0{,}225 \cdot U}{f \cdot N} \,$

beinhaltet die Auswertung des oben beschriebenen Integrals für die Halbperiode einer sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert U, der Frequenz f und der Windungszahl N.

Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen. Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst, die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

Technische Anwendungen

• Induktionsschleife für KFZ zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
• dynamisches Mikrofon
• dynamisches (Magnet-) Tonabnehmersystem für Plattenspieler
• Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
• Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
• Generator = Dynamo = Lichtmaschine
• RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
• Transkranielle Magnetstimulation
• Induktionsgeber (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z. B. im Kfz–Bereich)
• Induktionshärten
• Induktionslampe
• Induktionssender
• Transformator

Eine Spannung wird induziert, solange sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert. Eine Induktionsspannung ist nur dann vorhanden, wenn sich der magnetische Fluss ändert. Da der Fluss das Produkt aus Flussdichte und Fläche ist, kann sich dazu entweder die Flussdichte B oder die Fläche A ändern. Eine Änderung der Fläche wird erreicht, indem man z. B. die Spule in einem konstanten Magnetfeld oder einen Magneten in einer Spule dreht. Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche ist Null, wenn die Spule quer zum Magnetfeld steht, sie ist maximal, wenn das Feld die Spule axial durchsetzt. Nach diesem Prinzip wird in einem Generator (Dynamomaschine) Strom erzeugt.

Eine Änderung der Flussdichte erreicht man durch ein veränderliches Magnetfeld. Nach diesem Prinzip wird in der Sekundärwicklung eines Transformators bei Speisung der Primärwicklung mit einer Wechselspannung eine Wechselspannung induziert, deren Höhe proportional zum Verhältnis der Windungszahlen ist.

Hierunter fallen auch alle Arten der induktiven Erwärmung durch Wirbelstrom: der Induktionsofen, Induktionshärten und das Induktionsfeld usw. Induktive Erwärmung von Werkstoffen: Induktionsöfen werden vorwiegend in der Industrie zum Härten, Löten, Schmelzen usw. eingesetzt. Diese Technik kommt zunehmend in der privaten Anwendung beispielsweise in der Küche als Induktionskochfeld zum Gebrauch.

Selbstinduktion

Ausgehend vom Induktionsgesetz, erzeugen extern einwirkende, zeitlich veränderliche magnetische Flüsse in zeitlich konstanten Leiterschleifen zeitlich veränderliche elektrische Spannungen. Aber auch der magnetische Fluss, der durch einen Strom durch die Spule selbst entsteht, wirkt auf die Spule ein. Ändert sich die Stromstärke durch die Spule, so ändert sich das von ihr selbst erzeugte Magnetfeld und induziert dadurch in der Spule selbst eine Spannung, die der Stromstärkeänderung entgegen gerichtet ist. Dieser Umstand wird allgemein als Selbstinduktion bezeichnet. Je schneller und stärker sich das Magnetfeld ändert, desto höher ist die erzeugte Induktionsspannung. Grundsätzlich kann die Selbstinduktion vollständig durch das Induktionsgesetz beschrieben werden und erfordert keine formalen Ergänzungen oder Anpassungen.

Wird der Strom durch eine von außen angelegte Spannungsquelle (d. h. von einer eingeprägten Spannung) verursacht, so entsteht eine Selbstinduktionsspannung, die exakt dem Wert und Verlauf der angelegten Spannung entspricht (ohmsche Widerstände seien dabei vernachlässigt). Sie hat bezogen auf die angelegte Spannung ein negatives Vorzeichen. Sie hält dieser das Gleichgewicht und kontrolliert und begrenzt dadurch den Strom. Die Gegengleichheit der beiden Spannungen hat seine formale Begründung auch in der Kirchhoffsche Maschenregel, die besagt, dass die Summe aller in einer Masche wirksamen Spannungen zu jedem Zeitpunkt Null sein muss, was bedeutet, dass die beiden Spannungen gegengleich sein müssen, weil sonst keine weitere Spannung in der Masche wirksam ist. Dieser Zusammenhang erlaubt es unter diesen Voraussetzungen, direkt von der angelegten Spannung auf den entsprechenden Induktionsvorgang und die Flußänderung zu schließen.

Allerdings kommt es bei der in Elektrotechnik üblichen Netzwerktheorie, welche beispielsweise zur Beschreibung von elektrischen Maschinen wie Transformatoren Verwendung findet, unter Umständen zu Verständnisschwierigkeiten, da die Netzwerktheorie keine Feldgrößen wie den magnetischen Fluss kennt.

Selbstinduktionseffekt, dargestellt als selbstinduzierte Quellenspannung

Selbstinduktionseffekt, dargestellt als Netzwerkmodell mit induktivem Spannungsabfall

Stattdessen wird mit zeitlich veränderlichen Spannungen und Strömen in Ersatzschaltbildern mit passiven Bauelemente wie Spulen und elektrischen Widerständen gearbeitet. Die induzierten Spannungen werden als Spannungsquellen modelliert, welche historisch auch als elektromotorische Kraft (EMK) bezeichnet werden. Da es sich bei induzierten Spannungen aber um keine Kraft im physikalischen Sinn handelt, sollte dieser Begriff vermieden werden.

Im Netzwerkmodell, wie sie unter anderem Schaltpläne darstellen, wird mit Zählpfeilen und bestimmten Orientierungen gearbeitet, wie es zur Verdeutlichung die nebenstehende Abbildung darstellt.

Zur Verdeutlichung ist der von extern auf die Leiterschleife einwirkende magnetische Fluss Φ_ext und die davon verursachten induzierten Spannungen u_ext mit dem Index ext versehen. Bei Belastung der extern geschlossenen Schleife fließende Strom i erzeugt einen magnetischen Fluss Φ_I, welcher mit dem Index I kennzeichnet ist. Die selbstinduzierte Quellenspannung lässt sich als eine Spannungsquelle mit dem Betrag u_i modellieren, wie in erster Abbildung dargestellt, und ist der dem Spulenstrom i treibenden Spannung u_ext entgegengerichtet. Man bezeichnet sie daher auch als Gegenspannung. Anwendung findet diese Darstellung beispielsweise bei der Beschreibung des sogenannten Magnetisierungsstromes bei einem Transformator.

Das Modell des induktiven Spannungsabfalles, wie in zweiter Abbildung dargestellt, kommt ohne weitere Spannungsquelle aus. Die an der eingezeichneten Spule L auftretende Spannung weist dabei in die gleiche Richtung wie der Strom i welcher durch die von extern treibenden Spannung u_ext verursacht ist. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass die Zusammenhänge im Netzwerkmodell bei harmonischen Vorgängen durch das Ohmsches Gesetz mit Blindwiderständen einfacher beschrieben werden können. Der in der Elektrotechnik wichtige Spezialfall von harmonischen Vorgängen bei den auftretenten Größen reduziert die zeitlichen Ableitungen im Induktionsgesetz auf Multiplikationen mit jω (dΦ/dt ≡ jωΦ), was in der komplexen Ebene einer Drehung um 90° entspricht.

Anwendungen

Die Selbstinduktion wird unter anderem genutzt, um die erforderliche hohe Zündspannung bei Leuchtstofflampen oder für Zündkerzen im Ottomotor zu erzeugen. Es lassen sich Spannungen von einigen 1000 V erzeugen. Im Elektrozaun und im Funkeninduktor werden auf diese Weise Hochspannungsimpulse erzeugt.

Die dabei entstehende hohe Spannung ist für Schalter, insbesondere elektronische Schalter wie Transistoren, gefährlich, denn beim Ausschalten ändert sich das Magnetfeld sehr abrupt. Um die Zerstörung zu vermeiden, wird ein Kondensator oder eine Freilaufdiode antiparallel zur Spule geschaltet.

Die Selbstinduktion ist unter anderem auch der Grund für die Größe der Induktivität, welche für das Verhalten der Spule in Wechselstromkreisen benötigt wird. Bei sinusförmigen Verlauf der Größen führt sie zu einer Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, was im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung bei der Berechnung von induktiven Widerständen Anwendung findet.

Erweiterungen und geschichtliche Entwicklung

Historischer Induktionsapparat aus dem Physikunterricht

Die dargestellte elektromagnetische Induktion als Teil der maxwellschen Gleichungen und der klassischen Elektrodynamik (KED) spiegelt den Kenntnisstand aus dem Ende des 19. Jahrhunderts wider. Es wurden damals teilweise nur andere Begriffe und Nomenklaturen für die Darstellungen benutzt, die grundlegenden Vorstellungen über den Induktionsvorgang waren vorhanden.

Anfang des 20. Jahrhunderts erfolgte die relativistische Eingliederung des Induktionsgesetzes im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie, und es wurde auf die Verhältnisse bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit Rücksicht genommen. Dabei ändern sich beispielsweise die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Abhängigkeit von der Bewegung zwischen einem Beobachter und einer beobachteten elektrischen Ladung. Diese Abhängigkeiten in der relativen Bewegung zueinander zwischen verschiedenen Bezugsystemen werden durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Dabei zeigt sich, dass das Induktionsgesetz, so wie die restlichen maxwellschen Gleichungen, „lorentzinvariant“ ist. Das heißt, die Gleichungen werden durch die Lorentz-Transformation zwischen verschiedenen Bezugsystemen nicht verändert. Dabei wird auch besonders deutlich, dass die elektrischen und magnetischen Felder nur zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens sind.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts gelang im Rahmen der Elektrodynamik die Verbindung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, und es wurde auch das Induktionsgesetz im Rahmen einer Quantenfeldtheorie des Elektromagnetismus formuliert. Diese Quantenfeldtheorie wird als Quantenelektrodynamik (QED) bezeichnet. Sie stellt heute, auch aufgrund des großen technischen Anwendungsgebietes, eine der durch Experimente am genauesten überprüfte Theorie der Physik dar.

Literatur

• Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14 Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0. 
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen. 6 Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42018-5. 

Referenzen

1. ↑ Christian Gerthsen: Physik. 4. Auflage, Springer, Berlin 1956, S. 258

Weblinks

• Induktion bei LeiFi-Physik
• Sehr vereinfachte Animation zur Induktion