Mathematische Grundlagen

Principia Mathematica („mathematische Prinzipien“ bzw. „Mathematische Grundlagen“) ist ein Werk in drei Bänden über die Grundlagen der Mathematik von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead, erstmals erschienen zwischen 1910 und 1913. Die Principia Mathematica stellen den Versuch dar, alle mathematischen Wahrheiten aus einem wohldefinierten Satz von Axiomen und Schlussregeln (Inferenzregeln der symbolischen Logik) herzuleiten, wie es durch das Hilbertprogramm vorgeschlagen wurde. Auf mehreren Hundert Seiten wird zunächst ein Repertoire aus Begriffen und Symbolen dargelegt, welches das Fundament zur späteren Herleitung der Arithmetik bilden. Die Herleitung der Mathematik aus der Logik widerlegte einige bis dahin verbreitete Anschauungen über das Wesen mathematischer Erkenntnisse. Russell und Whitehead zeigten, dass diese weder empirisch noch apriorisch waren (letzteres hatte Kant angenommen), sondern sprachlicher Natur und damit formallogisch begründbar.

Behandelte Themengebiete

Die Principia behandeln nur die Mengentheorie, die Kardinalzahlen, die Ordinalzahlen und die Reellen Zahlen; tiefergehende Sätze aus der reellen Analysis sind nicht enthalten, aber gegen Ende des dritten Bandes wird klar, dass die gesamte bekannte Mathematik im Prinzip aus dem vorgestellten Formalismus entwickelt werden kann.

Vorläufer

Eine wichtige Inspiration und Grundlage der Principia Mathematica bildet die Arbeit Gottlob Freges über die Logik, die einige von Russell entdeckte Widersprüche enthält, darunter den Widerspruch, der sich aus dem Konzept einer Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten ergibt (siehe Russellsche Antinomie). Diese Widersprüche in der Mengenlehre sollten durch ein System von Typen gelöst werden, der so genannten Typentheorie.

Folgen

Es blieb aber zunächst unklar, ob dieses System von Axiomen und Ableitungsregeln widerspruchsfrei ist und ob sich alle wahren Sätze auf diese Weise herleiten ließen. Dass dies nicht möglich ist, zeigte einige Jahre später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz, den er in seiner Arbeit Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. darlegte.

Literatur

• Principia Mathematica to *56. Cambridge University Press; 2. Aufl. 1997. ISBN 978-0521626064
• Principia Mathematica. 3 Bände. Cambridge University Press 2. Aufl. 1962. ISBN 978-0521067911
• Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, Kurt Gödel: Principia Mathematica. Vorwort und Einleitungen. Suhrkamp 2008. ISBN 978-3518281932
• Esther Ramharter, Georg Rieckh: Principia Mathematica auf den Punkt gebracht. öbvhpt 2007. ISBN 978-3209055477

Weblinks

• Onlineversion der University of Michigan
• Bernard Linsky: „Principia Mathematica“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• A. D. Irvine: „The Notation in Principia Mathematica“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)