Kurt Gödel

Kurt Gödel als Student der Universität Wien Mitte der 1920er Jahre

Kurt Friedrich Gödel (* 28. April 1906 in Brünn, Österreich-Ungarn, heute Tschechien; † 14. Januar 1978 in Princeton, New Jersey) war ein österreichisch-amerikanischer Mathematiker und einer der bedeutendsten Logiker des 20. Jahrhunderts. Er leistete maßgebliche Beiträge

• zur Prädikatenlogik: Vollständigkeit und Entscheidungsproblem in der Arithmetik und der axiomatischen Mengenlehre
• zu den Beziehungen der intuitionistischen Logik sowohl zur klassischen Logik als auch zur Modallogik
• zur Relativitätstheorie in der Physik

Auch seine philosophischen Erörterungen zu den Grundlagen der Mathematik fanden weite Beachtung.

Jugend und Studium

Kurt Gödel stammte aus einer wohlhabenden großbürgerlichen Familie in Brünn in Mähren. Die Stadt Brünn hatte zur Geburtszeit Gödels eine deutschsprachige Bevölkerungsmehrheit und lag bis 1918 in der österreichisch-ungarischen Monarchie (heute in Tschechien). Seine Eltern waren Marianne (geb. Handschuh) und Rudolf August Gödel. Sein Vater war ein zu Wohlstand gelangter Textilunternehmer. Der Vater war katholisch, die Mutter evangelisch, die Kinder der Familie wurden evangelisch erzogen. Paul Gödel Senior und Junior sind in Brünn schon im Jahre 1744 als Lederer erwähnt.

Gödel litt, verursacht durch rheumatisches Fieber, in seiner Kindheit oft unter einem schlechten Gesundheitszustand. Trotzdem zeigte er schulische Bestleistungen. 1912 trat Gödel in die Privat-Volks- und Bürgerschule ein, vier Jahre später in das deutschsprachige Kaiserliche und Königliche Staatsrealgymnasium. Nach dem Ersten Weltkrieg wurde die Stadt Brünn 1918/1919 Teil der neu gegründeten Tschechoslowakischen Republik. Gödel, der nur schlecht Tschechisch sprach, fühlte sich in dem neu gegründeten Staat nicht heimisch.^{[A 1]} Er nahm 1923 die österreichische Staatsbürgerschaft an, zog im Herbst 1924 nach Wien und schrieb sich dort zunächst im Studiengang für Theoretische Physik ein. Er beschäftigte sich im darauffolgenden Jahr hauptsächlich mit physikalischen Themen. Außerdem besuchte er die philosophische Vorlesung von Heinrich Gomperz sowie die Vorlesung über die Zahlentheorie von Philipp Furtwängler. Diese beiden Professoren gaben Gödel die entscheidenden Impulse, sich intensiv mit den Grundlagen der Mathematik auseinanderzusetzen, die auf der formalen Logik sowie der Mengenlehre beruhen.

Kurz nach Beginn seines Studiengangs begann er den Wiener Kreis zu besuchen, einen akademischen Zirkel, der von Moritz Schlick ins Leben gerufen worden war und sich mit den methodischen Grundlagen des Denkens und somit den Grundlagen jedweder Philosophie auseinandersetzte. Die Gespräche mit den anderen Mitgliedern der Gruppe, von denen insbesondere Hans Hahn, Karl Menger sowie Olga Taussky für Gödel von besonderer Bedeutung waren, führten ebenfalls zur Erweiterung seines mathematischen Wissens. Auch in familiärer Hinsicht waren die Treffen des Zirkels für ihn von Bedeutung, da er hier 1927 zum ersten Mal seine spätere Frau Adele Porkert traf. Als er im Juli 1928 mit seinem Bruder in eine neue Wohnung innerhalb Wiens, in die Florianigasse 42 (laut der Gedenktafel), zog, befand sich diese zufälligerweise direkt gegenüber der Wohnung von Adele Porkert. Bedingt durch diese Nachbarschaft gingen die beiden erst jetzt eine Beziehung ein, die allerdings durch Kurts Eltern aufgrund gesellschaftlicher Vorbehalte gestört wurde. Adele Porkert stammte aus kleinbürgerlichen Verhältnissen, arbeitete als Kabarettänzerin und war wenig gebildet. Sie war fast sieben Jahre älter als Gödel und bis 1933 mit dem Fotografen Nimburki verheiratet. Daher betrachteten Gödels Eltern die Beziehung als Mesalliance, was das Paar veranlasste, sie zunächst geheimzuhalten.^[1]

Gödels wissenschaftliche Leistungen (1929–1938)

Studium

Fasziniert von den Gesprächen im Wiener Kreis, besuchte Gödel das Mathematische Kolloquium von Karl Menger und wurde hier mit den Grundlagenproblemen der Mathematik und Logik seiner Zeit vertraut. Besonders lernte er Hilberts Programm kennen, das die Widerspruchsfreiheit der Mathematik erweisen sollte. Unter anderem deshalb gehörte die erste Auflage des Lehrbuchs Grundzüge der theoretischen Logik von David Hilbert und Wilhelm Ackermann zu seiner Lektüre, die die hauptsächliche Grundlage für seine eigene Dissertation über die Vollständigkeit des engeren Kalküls der Prädikatenlogik erster Stufe von 1929 werden sollte (genauer Titel: Über die Vollständigkeit des Logikkalküls). Für diese Arbeit wurde ihm am 6. Februar 1930 die Doktorwürde verliehen. Sein Doktorvater war Hans Hahn.^[2]

Weitere Forschung zu Hilberts Programm

Die 1930er-Jahre waren für Gödel hauptsächlich von wissenschaftlicher Arbeit geprägt, die zunächst auf die Durchführbarkeit des um 1920 formulierten Hilbertprogramms gerichtet war. Er beschäftigte sich mit der Kontinuumshypothese und der Frage, ob sich die Arithmetik (die Theorie der natürlichen Zahlen) vollständig und widerspruchsfrei axiomatisieren lasse. Diese beiden Fragen waren gleichzeitig die ersten beiden der berühmten 23 Probleme gewesen, deren erste zehn Hilbert bereits 1900 auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris dem anbrechenden neuen Jahrhundert aufgegeben hatte.

Die Kontinuumshypothese ist die mengentheoretische Aussage, dass jede Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist, mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum) ist. Hilbert war überzeugt, die Mathematik und damit auch Zahlentheorie (Arithmetik) und Mengenlehre sei vollständig in dem Sinne, dass sich schließlich feststellen lasse, ob eine mathematische Aussage wie die Kontinuumshypothese zutreffe oder nicht.

Die Unvollständigkeitssätze

Hatte Gödels erste Arbeit noch als ein Hinweis auf die Durchführbarkeit des Vorhabens gelten können, so war seine bedeutendste Arbeit, die er im Jahr 1931 veröffentlichte, das Ende des Traums von David Hilbert. In der Arbeit, die den Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme trug, bewies Gödel den ersten gödelschen Unvollständigkeitssatz. Dieser besagt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen, und das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können. Hinreichend einfach bedeutet dabei, dass das Axiomensystem eine entscheidbare Menge ist. Als zweiter gödelscher Unvollständigkeitssatz wird Gödels Korollar (Zusatz) zum ersten bezeichnet, wonach die Widerspruchsfreiheit eines solchen Axiomensystems nicht aus dem Axiomensystem selbst ableitbar ist.

Insbesondere sind allerlei Teiltheorien der gesamten Arithmetik – letztere wollte Hilbert vollständig und widerspruchsfrei axiomatisieren – mächtig genug, um ihre eigene Syntax und ihre Schlussregeln darzustellen. Entsprechende Axiomatisierungen sind daher entweder

1. nicht hinreichend einfach oder
2. nicht vollständig oder
3. widersprüchlich.

Insbesondere ist dann eine vollständige und widerspruchsfreie Arithmetik nicht hinreichend einfach. Hilbert bemühte zuletzt (um 1930)^[3] tatsächlich eine ω-Regel, der zufolge (ungefähr) zutreffende Allaussagen Axiome sein sollten, offenbar um seine Überzeugung der vollständigen Axiomatisierbarkeit zu retten. So aber ist die Menge der Axiome nicht mehr hinreichend einfach.

Der Beweis der Unvollständigkeitssätze beruht auf einer Formalisierung von Antinomien der Form: „Ich spreche jetzt nicht die Wahrheit.“ Er formulierte dieses Paradoxon mathematisch präzise, indem er die mathematischen Aussagen für natürliche Zahlen betrachtete, und feststellte, dass man jede dieser Aussagen selbst als natürliche Zahl schreiben kann. Diese heißt Gödelnummer, und ihre Errechnung heißt Gödelisierung. Wenn man jedoch Aussagen über natürliche Zahlen selbst als natürliche Zahlen auffassen kann, dann kann man selbstbezügliche Aussagen genannter Art formulieren. Das ist eine Variante von Cantors Diagonalverfahren. Genauer konstruierte er ein Beweisbarkeitsprädikat als zahlentheoretische Formel Bew(x), die genau dann wahr wird, wenn man die Variable x überall durch eine formale Darstellung der Gödelnummer eines beweisbaren Satzes der untersuchten Theorie ersetzt. Er zeigte, dass es eine natürliche Zahl n mit formaler Darstellung N gibt, so dass n die Gödelnummer der Negation von Bew(N) ist. Die zugehörige negierte Formel ¬Bew(N) drückt also ihre eigene Unbeweisbarkeit aus und ist in der untersuchten Theorie weder beweisbar noch widerlegbar, falls diese widerspruchsfrei ist.

Der Zweite Unvollständigkeitssatz wird zumeist so aufgefasst, dass Hilberts Programm, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik oder wenigstens der Arithmetik zu beweisen, nicht durchführbar und das zweite Problem aus Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen unlösbar sei. Allerdings bezieht sich diese Schlussfolgerung auf Gödels natürliche arithmetische Darstellung der Beweisbarkeit, dem Beweisbarkeitsprädikat Bew(x). Bei bestimmten künstlichen Modifikationen von Gödels Beweisbarkeitsprädikat gilt der Zweite Unvollständigkeitssatz nicht mehr. Eine solche Modifikation wurde zuerst von John Barkley Rosser bald nach Gödels Veröffentlichung vorgeschlagen; inzwischen versuchen Spezialisten zu klären, worin der Unterschied zwischen natürlich und künstlich eigentlich besteht.^[4]

Intuitionistische Logik, Beweisbarkeitslogik

Hilberts Programm stand im Rahmen allgemeiner Versuche seiner Zeit, die Grundlagen der Mathematik zu klären. Dem als Formalismus bezeichneten Ansatz Hilberts hierzu stand Luitzen Egbertus Jan Brouwers Intuitionismus gegenüber. Der philosophische Ansatz des Intuitionismus schlug sich als intuitionistische Logik im Bereich der mathematischen Logik nieder, geschaffen von Arend Heyting. Für Gödel war der intuitionistische Ansatz kaum weniger interessant als Hilberts Programm. Vor allem das Verhältnis der intuitionistischen Logik zur klassischen Logik war für Gödel wie für andere Logiker seither ein fesselnder Untersuchungsgegenstand – unabhängig davon, ob man sich selbst philosophisch als Intuitionist ansah.

Zwischen solchen und klassisch geprägten Mathematikern besteht ein Verständigungsproblem. Aus klassischer Sicht verwenden intuitionistisch ausgerichtete Mathematiker dieselben Wörter wie klassisch geprägte Mathematiker – bloß in einer ganz anderen, rätselhaften Bedeutung. So scheint ein Intuitionist aus klassischer Sicht nur „A ist beweisbar“ zu meinen, wenn er A sagt. Gerade nach Gödels Entdeckungen bedeutet Wahrheit aber längst nicht Beweisbarkeit. Intuitionistische Mathematiker unterwerfen ihre Behauptungen demnach strengeren Anforderungen als klassisch geprägte. Ein Intuitionist glaubt nicht alles, was ein klassisch geprägter Mathematiker glaubt.^[5]

Gödel widerlegte 1933 diese eingeschränkte Vorstellung von Heytings Arithmetik in gewisser Weise. Oberflächlich ist Heytings Arithmetik klassischen arithmetischen Theorien zwar unterlegen, dieser Anschein schwindet aber, wenn man auf die besondere Rolle der Negation achtet. Gödel gab eine Interpretation (Übersetzung) der klassischen Arithmetik in der Heyting-Arithmetik an, die davon ausging, jede atomare Formeln in ihre doppelte Negation zu verwandeln. Gödel zeigte, dass die Ausgangsformel genau dann in der klassischen Peano-Arithmetik (beschränkt auf eine Variablensorte) herleitbar ist, wenn ihre Übersetzung in der Heyting-Arithmetik herleitbar ist. Modulo dieser Übersetzung kann man also alle Theoreme der klassischen Arithmetik auch in der Heyting-Arithmetik herleiten.

Gödel stützte auch die Vorstellung, dass von einem Intuitionisten geäußertes A von klassischen Logikern bloß als „A ist beweisbar“ zu deuten ist – in abgewandelter Weise. Beweisbarkeit kann formal durch eine Ergänzung prädikatenlogischer Systeme um Modaloperatoren dargestellt werden, wie sie sonst für die Logik von notwendig und möglich verwendet werden. Erst in jüngerer Zeit wurde dann der Gedanke gründlich verfolgt, Beweisbarkeit als Spielart von Notwendigkeit zu untersuchen (Beweisbarkeitslogik^[6]). Gödel lieferte einen frühen Beitrag zu dieser Forschungsrichtung, indem er die Modallogiken zu verschiedenen Beweisbarkeitsprädikaten miteinander verglich. In diesem Zusammenhang gab er eine Interpretation der intuitionistischen Aussagenlogik in der Modallogik S4 an. Die Übersetzung findet im Wesentlichen durch Einfügen des Notwendigkeitsoperators vor jeder echten Teilformel statt. Theoreme der intuitionistischen Aussagenlogik werden so in Theoreme von S4 übersetzt. 1948 bestätigten McKinsey und Tarski Gödels bloße Vermutung, dass darüber hinaus nur Theoreme der intuitionistischen Aussagelogik in S4-Theoreme übersetzt werden.

Diese beiden Ergebnisse wurden 1933 veröffentlicht, zwei andere zur intuitionistischen Logik 1932 und 1958.

Amerikareisen, gesundheitliche Schwierigkeiten, Kontinuumshypothese

Gödels bahnbrechende Arbeit und die verblüffenden Resultate, die aus ihr folgten, führten zu seiner Anerkennung als einem der führenden Logiker seiner Zeit. So wurde er von seinem amerikanischen Kollegen Oswald Veblen nach Princeton in das neu gegründete Institute for Advanced Study eingeladen. Von 1933 bis 1934 reiste er zum ersten Mal nach Amerika und wurde dort gemeinsam mit James Alexander, John von Neumann und Oswald Veblen Gründungsmitglied der Fakultät. Allerdings begann sich in dieser Zeit seine psychische Erkrankung, die er wahrscheinlich latent seit seinen Kindheitstagen in sich trug, zum ersten Mal in der Form von depressiven Stimmungen und hypochondrischen Zwangsvorstellungen bemerkbar zu machen. Diese seelische Belastung war jedoch nur auf persönliche Einflüsse zurückzuführen. Für die aktuelle politische Situation in Europa interessierte sich Gödel nicht.

Als Gödel im Frühjahr 1934 nach Wien zurückkehrte, hatte er bereits die Einladung für eine weitere Dozententätigkeit in Princeton erhalten. Der Tod seines Mentors Hans Hahn und der zunehmende Verfall seiner Gesundheit durch seine unvollständige Ernährung (er hatte krankhafte Angst davor, vergiftet zu werden, so dass seine Frau Adele Gödel alle seine Speisen vor seinen Augen zubereiten und kosten musste) führten dazu, dass er sich statt dessen im Herbst 1934 für eine Woche in ein Sanatorium begeben musste. Nach diesem Aufenthalt, der ihm genügend Erholung brachte, begann sich Gödel mit der Kontinuumshypothese zu beschäftigen, wobei er unter anderem mit John von Neumann zusammenarbeitete. Er versuchte, die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den übrigen Axiomen der Mengenlehre zu beweisen. Hierzu arbeitete er eine axiomatische Mengenlehre mit Klassen aus, die Urfassung der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, die im Mengenbereich mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC übereinstimmt. Auf dieser Basis bewies er 1938 ^[7] den 1940 publizierten Satz, dass man die Negation der Kontinuumshypothese nicht mit den ZFC-Axiomen beweisen kann, falls diese widerspruchsfrei sind (siehe "Konstruierbarkeitsaxiom"). 1963 vervollständigte der US-Amerikaner Paul Cohen diesen Unabhängigkeitssatz und zeigte, dass auch die Kontinuumshypothese selbst nicht bewiesen werden kann, falls ZFC widerspruchsfrei ist. Damit wurde ein erstes mathematisch oder grundlagentheoretisch relevantes Beispiel einer von ZFC (vermeintlich der ganzen Mathematik) unabhängigen Aussage bekannt, deren Existenz Gödel mit seinem Ersten Unvollständigkeitssatz unter allgemeineren Voraussetzungen bewiesen hatte (Gödels eigene unentscheidbare arithmetische Aussage war mathematisch uninteressant). Damit war zugleich gezeigt, dass das erste Hilbertsche Problem von 1900 unlösbar ist.

Gödels Gesundheit verschlechterte sich mit zunehmendem Alter immer mehr. Seit seiner Erkrankung an rheumatischem Fieber als Kind war er überzeugt, ein schwaches Herz zu haben und entwickelte ein Misstrauen gegen die Ärzteschaft, die bei ihm nichts dergleichen finden konnte. Er mied Ärzte und wäre deshalb in den 1940er Jahren beinahe an einem unbehandelten Zwölffingerdarmgeschwür gestorben. Bereits 1935 verbrachte Gödel mehrere Monate in einer psychiatrischen Klinik. Als der von Gödel sehr geachtete Philosoph Moritz Schlick, einer der führenden Köpfe des Wiener Kreises, 1936 von einem ehemaligen Studenten ermordet wurde, erlitt Gödel einen Nervenzusammenbruch.

Amerika

Am 20. September 1938 heiratete Kurt Gödel schließlich Adele Porkert.^[8] Nach dem Anschluss Österreichs an das Deutsche Reich verlor er aufgrund der Umstellung des Bildungssystems seine österreichische Dozentur. Er versuchte eine adäquate akademische Stelle im nunmehr deutschen Bildungssystem zu erhalten. Die entsprechenden Anträge wurden jedoch sehr schleppend bearbeitet, da Gödel als Vertreter „einer stark verjudeten Mathematik“ galt.^[9] Die väterliche Erbschaft, die Gödel für seinen und Adeles Unterhalt verbrauchte, lief allmählich aus, sodass die beiden kein gesichertes Einkommen mehr hatten.

Als Gödel in Wien irrtümlich als Jude angepöbelt wurde und man ihn obendrein als kriegsverwendungsfähig einstufte, entschloss er sich endgültig, seine bisherige Heimat zu verlassen und in die USA auszuwandern. Dank seiner dortigen Unterstützer (wie Abraham Flexner und John von Neumann) und der Hilfe seiner Frau konnte er im Januar 1940 das Dritte Reich mit der Transsibirischen Eisenbahn über die Sowjetunion und Japan verlassen.^[10]

Nach seiner Einreise in die USA und der Weiterführung seiner Arbeit am Institute for Advanced Study, und nach einer Einladung von P.A. Schilpp zu seinem Band über Bertrand Russell einen Beitrag zu schreiben, beschäftigte sich Gödel mehr mit Philosophie, besonders mit Leibniz und später auch mit Husserl. Und so begann Gödel sich in Princeton immer mehr mit philosophischen Problemen zu beschäftigen und von der formalen Logik abzuwenden. Gödel befasste sich später auch mit Theologie. Er versuchte unter anderem einen ontologischen Gottesbeweis mittels formaler Logik. Dieser wurde jedoch erst posthum veröffentlicht. Dabei nimmt Gödel an, dass positive Eigenschaften sich nicht gegenseitig ausschließen und "sein" eine positive Eigenschaft ist. Auf Basis dieser Axiome zeigt er, dass eine solche Menge möglich ist und damit tatsächlich existiert. ^[11] 1941 verfasste er seine letzte Arbeit zu einem logischen Problem, die er aber erst 1958 veröffentlichte. 1942 lernte Gödel Albert Einstein näher kennen und begann mit ihm über physikalische Probleme wie die Relativitätstheorie oder über philosophische Themen zu diskutieren.^[12] Gödel gab die erste Lösung der Allgemeinen Relativitätstheorie mit geschlossenen zeitartigen Weltlinien an, die also zeigt, dass Zeitreisen in dieser Theorie möglich wären.^[13] Sein Beispiel eines rotierenden Universums war allerdings nicht sehr realistisch. Trotzdem war damit die Suche nach einem Chronology-protection-Mechanismus in der Physik eröffnet. 1950 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge (Massachusetts) über seine Kosmologie (Rotating universes in general relativity).

Im Jahr 1947 erhielt Gödel die Staatsbürgerschaft der USA. Für das Einbürgerungsverfahren war eine richterliche Anhörung erforderlich, in der er Kenntnisse des Landes und der Verfassung zeigen musste. Bei seinen Vorbereitungen dazu entdeckte Gödel, dass die Verfassung des Landes insoweit „unvollständig“ war, als dass es trotz ihrer die Demokratie schützenden Einzelbestimmung möglich gewesen wäre, im Rahmen dieser Verfassung eine Diktatur zu errichten. Zwei Freunde, Albert Einstein ^[14] und der Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern begleiteten ihn bei dem Verfahren. Dank ihrer Hilfe und eines aufgeklärt denkenden Richters konnte vermieden werden, dass Gödel sich bei der Anhörung selbst in Schwierigkeiten brachte.

Das Grab Kurt Gödels in Princeton

Zwischen Einstein und Gödel entwickelte sich eine enge Freundschaft,^[12] die bis zu Einsteins Tod 1955 anhielt. Gemeinsam pflegten sie zum Institut und nach Hause zu spazieren.^[15] Neben wenigen weiteren Bekanntschaften vereinsamte Gödel aber in den 1940er- und 1950er-Jahren aufgrund seiner fortschreitenden psychischen Krankheit – vorwiegend Paranoia, vor allem die Angst, durch Essen vergiftet zu werden – immer mehr. Erst 1953 erhielt er eine Professur in Princeton, da er vor allem von Hermann Weyl und Carl Ludwig Siegel wegen seines merkwürdigen Verhaltens als ungeeignet angesehen wurde. In den 1960er-Jahren hörte er auf, Vorlesungen zu geben, und seine Krankheit ließ ihm immer weniger die Möglichkeit, zu arbeiten oder gesellschaftlich zu interagieren. Gleichwohl galt er weiterhin als einer der führenden Logiker, und man gewährte ihm entsprechende akademische Anerkennung in Form von Auszeichnungen; sein Zustand besserte sich jedoch nicht. 1970 versuchte er zum letzten Mal zu publizieren. Die Schrift musste jedoch zurückgenommen werden, da er aufgrund der Wirkung von Psychopharmaka viele Fehler einfach übersehen hatte.

Seine letzten Lebensjahre verbrachte Gödel zuhause in Princeton oder in verschiedenen Sanatorien, aus denen er einige Male flüchtete. Lediglich die Fürsorge seiner Frau, die dafür sorgte, dass er sich wenigstens halbwegs normal ernährte, hielt ihn am Leben. Als Adele Gödel 1977 aufgrund eines Schlaganfalls selbst in ein Krankenhaus eingeliefert wurde, musste sie hilflos zusehen, wie ihr Mann immer mehr abmagerte. Als sie nach sechs Monaten wieder entlassen wurde – inzwischen an einen Rollstuhl gefesselt –, lieferte sie ihn bei einem Körpergewicht von unter 40 kg sofort in ein Krankenhaus ein. Kurt Gödel verstarb dennoch wenige Wochen später an Unterernährung und Entkräftung.^[16]

Mathematisches Werk

Gödel hat folgende grundlegende Theoreme der mathematischen Logik bewiesen:

• den gödelschen Vollständigkeitssatz;
• den gödelschen Unvollständigkeitssatz;
• ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ohne Auswahlaxiom) widerspruchsfrei, so ist auch ihre Erweiterung um das Auswahlaxiom und die (verallgemeinerte) Kontinuumshypothese widerspruchsfrei (kurz: AC+GCH, erst recht AC+CH ist widerspruchsfrei relativ zu ZF).^[17]

Weniger bekannt im deutschsprachigen Raum ist seine mathematisch-physikalische Arbeit in Princeton zur Allgemeinen Relativitätstheorie:

• Gödel-Metrik bzw. Gödel-Universum ^[18]

Nach Gödel sind außerdem Gödelnummer und Gödelisierung benannt.

Ehrungen

• Der 1985 entdeckte Asteroid 3366 Gödel ist nach Kurt Gödel benannt.^[19]
• Gödel-Lecturer, eine Ehrung in mathematischer Logik der Association for Symbolic Logic. Der Preis ist nach Kurt Gödel benannt.
• 1993 Gödel-Preis für herausragende Veröffentlichungen in der theoretischen Informatik.
• Im Jahr 2009 ist in Wien Favoriten (10. Bezirk) die Gödelgasse nach Kurt Gödel benannt worden.
• Gödels Lebensstationen wurden im Herbst 2011 in dem Theaterstück Geister in Princeton des Autors Daniel Kehlmann gewürdigt; das Stück wurde im Schauspielhauses Graz als Uraufführung gespielt.

Anmerkungen

1. ↑ Laut John D. Dawson, fühlte sich Gödel wie ein „österreichischer Verbannter in Tschechoslowakien“. Die Qualität von Dawsons Arbeit wird von Werner DePauli-Schimanovich unter anderem in Kurt Gödel und die mathematische Logik S. 406-407 in Frage gestellt, da er nur Zugang zu Nachlässen Gödels hatte, ihn niemals persönlich gesprochen hat und in der von ihm verfassten Biografie in Bezug auf persönliche Eindrücke Gödels häufig phantasierte.

Werke um/über Gödel

• Gödel, Escher, Bach

Literatur

Schriften (Auswahl)

• Über die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Dissertation 1929. In: Monatshefte für Mathematik und Physik Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 36.1930, 2, S. 349–360. (Auch in: Erg. 3.1932, S. 12–13)
• Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 38.1931, S. 173–198.
• Diskussion zur Grundlegung der Mathematik, Erkenntnis 2. in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 39.1931-32, S. 147–148.
• The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Annals of Mathematical Studies, Volume 3, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1940.
• Russels mathematische Logik, in: Whitehead/Russell, Principia Mathematica, Vorwort, S. V–XXXIV. Suhrkamp 1986, ISBN 3-518-28193-3.
• (Hrsg.) Solomon Feferman u. a.: Kurt Gödel. Collected Works. Vol. I–III. Clarendon Press, Oxford 1986 ISBN 0-19-514720-0, 1990 ISBN 0-19-514721-9, 1995 ISBN 0-19-514722-7 (Die komplette Sammlung aller von Gödel jemals verfassten veröffentlichten und unveröffentlichten Schriften in Deutsch und Englisch)

Sekundärliteratur

• Eckehart Köhler, Peter Weibel, Michael Stöltzner, Bernd Buldt, Werner DePauli-Schimanovich-Göttig (Editoren): Kurt Gödel: Wahrheit & Beweisbarkeit, Band 1: Dokumente und historische Analysen, öbv&hpt, Wien 2002.
• Bernd Buldt, Eckehart Köhler, Michael Stöltzner, Peter Weibel, Werner DePauli-Schimanovich-Göttig (Editoren): Kurt Gödel: Wahrheit und Beweisbarkeit, Band 2: Kompendium zum Werk, öbv&hpt, Wien 2002.
• John W. Dawson jr.: Das logische Dilemma. Leben und Werk von Kurt Gödel. Springer, Wien 2007, ISBN 3-211-83195-9
• Ludwig Fischer: Die Grundlagen der Philosophie und der Mathematik. Felix Meiner, Leipzig 1933.
• Rebecca Goldstein: Kurt Gödel. Jahrhundertmathematiker und großer Entdecker. Piper, München 2006, ISBN 3-492-04884-6
• Gianbruno Guerrerio: Kurt Gödel. Logische Paradoxien und mathematische Wahrheit. Spektrum der Wissenschaft, Biografie. Spektrum, Heidelberg 2002, ISBN 3-936278-04-0
• Jaakko Hintikka: On Gödel. Wadsworth Philosophers Series, 2000. (Englisch) ISBN 978-0-534-57595-3 (Das Buch hat nur 74 Seiten und ist für Leser mit guter Allgemeinbildung geschrieben, setzt also keine tiefgehenden Mathematikkenntnisse voraus.)
• Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Ein Endloses Geflochtenes Band. Dt. Taschenbuch Verlag, München 1991, ISBN 3-423-30017-5
• Douglas R. Hofstadter: Ich bin eine seltsame Schleife. Klett-Cotta, März 2008, ISBN 978-3-608-94444-0
• Sybille Krämer: Symbolische Maschinen. Die Idee der Formalisierung in geschichtlichem Abriß. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-03207-1
• Georg Kreisel: Gödel, Biographical Memoirs, Fellows Royal Society, 1980, S. 149–224
• Ernest Nagel, James R. Newman: Der Gödelsche Beweis. Scientia Nova, Oldenbourg 2006, ISBN 978-3-486-45218-1
• Ed Regis: Who got Einstein’s Office? – Eccentricity and Genius at the Institute of Advanced Study, 1988
• Ed Regis: Einstein, Gödel & Co – Genialität und Exzentrik – Die Princeton Geschichte, Birkhäuser Verlag, 1989, ISBN 3-7643-2235-7
• Karl Sigmund, John Dawson, Kurt Mühlberger: Kurt Gödel – Das Album/The Album. Vieweg 2006, ISBN 3-8348-0173-9
• Wolfgang Stegmüller: Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Goedel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung. Springer, Wien 1973, ISBN 3-211-81208-3
• Max Woitschach: Gödel, Götzen und Computer. Eine Kritik der unreinen Vernunft. Poller, Stuttgart 1986, ISBN 3-87959-294-2
• Palle Yourgrau: Gödel, Einstein und die Folgen. Vermächtnis einer ungewöhnlichen Freundschaft. C.H. Beck, München 2005, ISBN 3-406-52914-3
• Werner DePauli-Schimanovich, Peter Weibel: Kurt Gödel, Ein mathematischer Mythos. öbvhpt Verlagsgesellschaft (1997) ISBN 3-209-00865-5. Die Monographie Kurt Gödel, Ein mathematischer Mythos beruht auf dem Drehbuch zum gleichnamigen Film derselben Autoren (ORF, 80 Minuten, 1986)
• Werner DePauli-Schimanovich: Kurt Gödel und die mathematische Logik; Universitätsverlag Linz 2005; ISBN 3-85487-815-X
• Ebbinghaus, Flum, Thomas: Einführung in die mathematische Logik, BI Wissenschaftsverlag, 1992. ISBN 3-411-15603-1
• Jiri Prochazka: Kurt Gödel 1906–1978. Genealogie. I,II,III,IV,V, ITEM, Brno 2006,2006,2008,2008, 2010 ISBN 80-902297-9-4, ISBN 80-903476-0-6, ISBN 80-903476-4-9, ISBN 978-80-903476-5-6, Brno-Princeton,/deutsch,teilw. englisch/, ISBN 80-903476-9-X, Brno-Princeton /deutsch, teilw.englisch/.

Weblinks

 Commons: Kurt Gödel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wikiquote: Kurt Gödel – Zitate

• Literatur von und über Kurt Gödel im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Kurt Gödel Society Wien (englisch)
• Langer Artikel über Gödel im TIME-Magazin von Douglas R. Hofstadter (englisch)
• Notices of the American Mathematical Society 2006, Tribute to Gödel (englisch, PDFs, biografisch detailliert, Werkdarstellung für Mathematiker)
• Kurt Gödel. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Gregory Chaitin mit Büchern und Aufsätzen u. a. zu Gödels Theorem (englisch)
• Artikel Gödel in der  Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, mathematisch präzise und zuverlässig, detaillierte Darstellung des mathematischen und philosophischen Werks)
• Und plötzlich diese Klarheit in: Die Weltwoche vom 19. April 2006
• Artikel im Tagesspiegel über das Leben Kurt Gödels
• Langer Artikel in der F.A.Z. Sonntagszeitungüber Gödel und die Unvollständigkeitssätze
• Die religionsphilosophischen Aspekte der Ideen von Kurt Gödel. Ein Artikel von Dr. phil., Dr. theol. Priester Dimitrij Kirjanow (in deutscher Übersetzung)
• Curt Christian, Leben und Wirken Kurt Gödels

Einzelnachweise

1. ↑ Guerrerio: Kurt Gödel, S. 34.
2. ↑ Kurt Gödel Mathematics Genealogy Project (zugriff=23.April 2010)
3. ↑ Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre, Mathematische Annalen 104, S. 485–494; Beweis des Tertium non datur, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1931, S. 120–125.
4. ↑ Vgl. etwa Karl-Georg Niebergall: zur Metamathematik nichtaxiomatisierbarer Theorien. CIS Universität München, München 1996. ISBN 3-930859-04-1
5. ↑ Die folgende Darstellung ist auf diejenige in der Stanford Encyclopedia of Philosophy gestützt.
6. ↑ Z. B. George Boolos: The Logic of Provability. Cambridge University Press, Cambridge (England) 1993. ISBN 0-521-43342-8
7. ↑ Vgl. S. 424 in: J. Floyd, A. Kanamori: How Gödel Transformed Set Theory. Notices of the AMS, 53 (2006), S. 419–427; online PDF
8. ↑ Guerrerio: Kurt Gödel, S. 71.
9. ↑ Guerrerio: Kurt Gödel, S. 72.
10. ↑ Guerrerio: Kurt Gödel, S. 74.
11. ↑ http://www.kath.de/lexikon/philosophie_theologie/gottesbeweis_goedel.php
12. ↑ ^{a b} Dazu Yourgrau 2005.
13. ↑ Reviews of Modern Physics, Bd.21, 1949, 447, sowie in Schilpp (Hrsg.) Albert Einstein 1955. Gödel bewies, dass in diesem Modell der für Zeitreisen nötige Energieaufwand unrealistisch hoch war, die Möglichkeit von Kommunikation blieb aber offen und war für Gödel eine mögliche Erklärung für Geistererscheinungen (Kreisel 1980, S. 155) Siehe auch Ellis über Gödels Arbeiten zur Kosmologie, in Petr Hajek (Hrsg.) Gödel 96, 1996.
14. ↑ Jaakko Hintikka: On Gödel, 2000, S. 9.
15. ↑ Goldstein 2006, vgl. englische Fassung
16. ↑ Stangl, Tobias: Kurt Gödel. Wahrheit und Beweisbarkeit (PDF).
17. ↑ Gödel 1940; moderne Darstellung etwa in: K. Kunen, Set Theory, North-Holland, Amsterdam, 1980, Kapitel VI. ISBN 0-444-85401-0
18. ↑ Gödel, K.: An example of a new type of cosmological solution of Einstein's field equations of gravitation. In: Rev. Mod. Phys.. 21, 1949, S. 447–450. Bibcode: 1949RvMP...21..447G. doi:10.1103/RevModPhys.21.447.
19. ↑ 3366 Gödel en.wikipedia; 3366 Godel (1985 SD1) JPL Small-Body Database Browser (zugriff=23.April 2010)

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