Mechanische Leistung

Physikalische Größe
Name	Leistung
Formelzeichen der Größe	P
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Watt (W) $\mathrm{1\, W = 1\, \frac{Nm}{s}}$ $\mathrm{1\,W = 1\, \frac{kg\, m^2}{s^3}}$ M•L2•T-3

Die Leistung ist eine physikalische Größe, die – kurz gesagt – für Energie pro Zeit steht. Dabei ist zu unterscheiden, dass mit dem Begriff Leistung die tatsächlich gegebene Leistung (Kennzeichen eines Verbrauchs) gemeint sein kann oder die installierte oder maximal mögliche Leistung (Kennzeichen eines Gerätes oder einer Installation).

Definitionen

Die Leistung P (von engl. Power) ist der Quotient aus verrichteter Arbeit ΔW oder dafür aufgewendeter Energie ΔE und der dazu benötigten Zeit Δt :

$P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{\Delta W}{\Delta t}\ .$

Beispiel

Wird eine Energie von 1 Kilowattstunde in einer Zeitspanne von 1 Stunde bezogen, dann beträgt die Leistung 1 Kilowatt.
Wird dieselbe Energie in einer kürzeren Zeit bezogen, dann ist die Leistung größer; bei Bezug von 1 Kilowattstunde in ½ Stunde ist die Leistung 2 Kilowatt.

Bei zeitlich veränderlicher Leistung, z. B. im Lautsprecher oder im elektrischen Energieversorgungsnetz, gibt es eine Augenblicksleistung beziehungsweise Momentanleistung P(t), die sich aus dem Grenzwert ergibt, wenn der Zeitabschnitt Δt gegen null geht:

$P(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t}\ {,}$

also als Differentialquotient

$P(t) = \frac{\mathrm{d}W(t)}{\mathrm{d}t}\ .$

Eher messbar ist eine in einem Zeitintervall der Länge $T = \left[ t_1, t_2 \right]$ verrichtete mittlere Leistung $\overline P$

$\overline P = \frac1T\int_{t_1}^{t_2} P(t)\mathrm{d}t\,$

Diese Angabe hat insbesondere Bedeutung, wenn P(t) sich periodisch ändert und T die Periodendauer ist.

Mechanische Leistung

Physikalische Zusammenhänge

Um in einer Zeit dt eine Strecke ds mit der Geschwindigkeit $v = \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}$ gegen eine Kraft F zurückzulegen, ist nach der obigen Definition also eine Leistung

$P = \frac{F \, \mathrm d s}{\mathrm d t} = F\cdot v$

bzw. vektoriell

$P = \frac{\vec F \, \mathrm d \vec s}{\mathrm d t} = \vec F \cdot \vec v$

nötig.

Für die Rotation um einen Winkel dφ gegen ein Drehmoment M gilt analog

$P = \frac{M\, \mathrm d \varphi}{\mathrm d t} = \vec M\cdot \vec \omega \ ,$

wobei $\vec \omega = \frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm d t}\; \vec e$ die Winkelgeschwindigkeit und $\vec e$ der Einheitsvektor in positiver Richtung der Drehachse ist.

Mit der Drehzahl (Zahl der Umdrehungen pro einer gegebenen Zeitspanne) $n=\omega /(2\pi)\$ ist

$P=2\pi\ M\cdot n\ .$

Technische Anwendung

In technischen Anwendungen wird teilweise mit Zahlenwertgleichungen gerechnet. Jede Größe x ist ein Produkt aus Zahlenwert {x} und Einheit [x] gemäß Festlegung in DIN 1313. Gibt man an

• die Leistung in Kilowatt, also mit [P] = kW,
• die Drehzahl in Umdrehungen je Minute, also mit [n] = min ⁻¹,
• das Drehmoment in Newtonmeter, also mit [M] = Nm,

dann erhält man die Zahlenwertgleichung

$\{ P\} = \frac {\{ M\} \cdot \{ n\}} {9550} .$

Mit der Umrechnung der Einheiten   1 Nm = 1 Ws   ist die in der technischen Literatur angegebene Zahl 9550 der mit drei signifikanten Stellen angegebene Rundungswert für

$\frac{[P]}{2\pi \;[M]\cdot[n]}= \frac{\mathrm{kW \cdot min}}{\mathrm{2\pi\;Nm}} =\frac{\mathrm{1000\;W\cdot 60\;s}}{\mathrm{2\pi\;Ws}} \approx 9549{,}3 .$

Diese Umrechnung gilt allerdings nur für die an der Welle abgegebene Leistung, nicht für die aus dem Energieversorgungsnetz bezogene elektrische Leistung.

Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung, die in einem Bauelement mit dem Widerstand R umgesetzt wird, ist bei konstanten Größen das Produkt von elektrischer Spannung U und Stromstärke I

$P=U\cdot I =I^2\cdot R=\frac{U^2}{R}\ .$

Bei zeitlich veränderlichen Größen u(t) und i(t) wird entsprechend der Augenblickswert der Leistung P(t) definiert als

$P(t) = u(t)\cdot i(t)\ .$

Statt dieser schwankenden Größe werden bevorzugt über Mittelwertbildung definierte, für periodische Wechselstromgrößen zeitlich konstante Leistungsangaben verwendet:

• Wirkleistung P,
• Blindleistung Q,
• Scheinleistung S.

Hydraulische Leistung

Die hydraulische Leistung ist das Produkt von Druck p und Volumenstrom Q der Hydraulikflüssigkeit.

$P = p \cdot Q\,$

Beispiele

Da die Leistung, die nach den oben genannten Definitionen eine Ableitung der Energie nach der Zeit darstellt, universelle Vorgänge in einem Bereich von den Quarks bis zur Supernova beschreibt, umfasst ihre Manifestation viele Größenordnungen.

• maximale Schallleistung eines großen LKW-Motors: ca. 1 W
• Taschenlampe: ca. 3 W
• Glühlampe im Haushalt: ca. 60 W
• Dauerleistung eines Menschen: 70 W
• kurzzeitig mögliche Leistungsabgabe eines Erwachsenen: ca. 1000 W
• Pferd, Dauerleistung (Pferdestärke, PS): ca. 735 W (historische Definition: 75 kg in einer Sekunde um einen Meter heben)
• Kühlschrank (nur wenn Kompressor läuft): ca. 200 W
• Heizlüfter: ca. 2 kW
• Zentralheizung in einem Einfamilienhaus (max. Heizleistung): ca. 15 … 20 kW
• Pkw (max. Fahrleistung): 30 … 200 kW
• Pkw (max. Leistungsaufnahme): ca. 150 … 600 kW
• Fahrzeugwindkanal: ca. 3 MW
• ICE3-Doppeltraktion: ca. 16 MW
• Kernkraftwerk: ca. 800 … 1500 MW
• Kohlekraftwerk, 1 Block: ca. 500 … 800 MW
• Windkraftanlage bei Wind: ca. 800 … 3000 kW
• Leuchtkraft der Sonne: 3,86 ∙ 10²⁶ W

Siehe auch

• Thermische Leistung
• Indizierte Leistung
• Sendeleistung
• Leistungsmesser
• Nennleistung
• Schallleistung
• Größenordnung (Leistung)