Mengendiagramm

Bleiverglastes Fenster mit einem Venn-Diagramm im britischen Cambridge, dem Studienort John Venns.

Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, insbesondere Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler), Venn-Diagramme (nach John Venn).

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen, sind jedoch im Allgemeinen nicht als mathematische Beweismittel geeignet. Als Beweismittel eignen sich nur solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt. Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten 2ⁿ Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selber konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier, schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen.

Beispiele

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen. Folgende Veranschaulichungen sind üblich:

	$x \in A$; x ist ein Element von A.
	$x \notin A$; x ist nicht Element von A.
	$B \subset A$ bzw. $A \supset B$ ; B ist eine Teilmenge von A bzw. A ist Obermenge von B.

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme stellen alle Relationen zwischen den betrachteten Mengen dar. Daher kann man an ihnen Zusammenhänge ablesen und aus dem Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen anderer Relationen schließen.

	$A \cap B$ (Durchschnitt); A geschnitten mit B, also alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
	$A \cup B$ (Vereinigungsmenge); A vereinigt mit B, also alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.
	$A \setminus B$ (Differenzmenge); A ohne B, also alle Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B. Mit der Negation schreibt es sich: $A \cap \bar B$
	$A \triangle B$ (Symmetrische Differenz); $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ $= (A \cup B) \setminus (A \cap B)$
	AC (Komplement von A); $A^{\rm C} = U \setminus A$ enthält alle Elemente des Universums U, die nicht in A liegen

Erweiterung auf mehr Mengen

Venns Konstruktion mit n = 3

Venns Konstruktion mit n = 4

Venns Konstruktion mit n = 5

Venns Konstruktion mit n = 6

Venns elegante Lösung mit 4 Ellipsen

Venn-Diagramme sind vor allem in der Darstellung für drei Mengen mit Kreisen bekannt. Venn hatte jedoch den Ehrgeiz „in sich elegante symmetrische Figuren“ zu finden, die eine größere Anzahl an Mengen darstellen, und zeigte ein Diagramm für vier Mengen in Ellipsenform. Er gab dann ein Konstruktionsverfahren an, mit dem man Venndiagramme für eine „beliebige“ Anzahl von Mengen darstellen kann, wobei jede geschlossene Kurve mit den anderen verflochten ist, ausgehend vom Diagramm mit drei Kreisen. Dabei wird ein „Schlauch“ über die jeweils letzte Mengendarstellung gezogen. Damit werden alle anderen Mengen geschnitten.

Johnston-Diagramme

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, speziell Venn-Diagrammen. In einem Johnston-Diagramm wird ein Kreis (eine Menge) P als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen eine Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises (das Komplement der Menge) P wird als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen die Aussage falsch ist. Um zu sagen, dass eine Aussage wahr ist, malt man den ganzen Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz an; man zeigt so an, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht zutreffen können. Um umgekehrt zu sagen, dass eine Aussage falsch ist, malt man den Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz aus; man sagt so, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage wahr ist, nicht zutreffen können. Kombiniert man zwei Aussagen P, Q durch eine Konjunktion, d. h. will man ausdrücken, dass beide Aussagen wahr sind, malt man die gesamte Fläche, die außerhalb der Schnittfläche der Kreise P, Q liegt, schwarz an; man sagt so, dass keiner der Sachverhalte, unter denen nicht sowohl P als auch Q zutreffen, vorliegen kann.

Johnston-Diagramme sind somit eine Abbildung der klassischen Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre, wobei die Negation als Komplementbildung, die Konjunktion als Schnitt und die Disjunktion als Vereinigung dargestellt werden. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden auf die Allmenge beziehungsweise auf die leere Menge abgebildet.

Existentielle Graphen

→ Hauptartikel: Existential Graphs

Eine enorme Erweiterung des Einsatzbereiches der Mengendiagramme stellen die Existenziellen Graphen von Peirce dar. Gewöhnliche Mengendiagramme werden in Peirces System als Alphagraphen bezeichnet und stellen hier atomare Beziehungen auf der Ebene der Aussagenlogik dar. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Mengendiagrammen lassen sich mit Peirceschen Beta- und Gammagraphen auch Terme der Prädikatenlogik erster Ordnung mit Identitätsbegriff sowie der modalen Logiken S4 und S5 (Clarence Irving Lewis, 1932) wiedergeben.

Geschichte

Leibniz benutzte bereits um 1690 Mengendiagramme zur Darstellung der Syllogistik.^[1] Christian Weise, Rektor des Gymnasiums in Zittau, verwendet um 1700 Mengendiagramme zur Darstellung logischer Verknüpfungen.^[2] J. C. Lange veröffentlichte 1712 das Buch Nucleus Logicae Weisianae, in dem Weises Logik behandelt wird.^[2] Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker im 18. Jahrhundert, führte das Euler-Diagramm ein, das er erstmals in einem Brief vom 24. Februar 1761 verwendete.^[3]

John Venn, britischer Mathematiker im 19. Jahrhundert, führte 1881 das Venn-Diagramm ein. 1964 werden erstmals Arbeiten von Peirce akademisch gewürdigt, die dieser im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts verfasst hatte und die die Existentiellen Graphen beschreiben.

Anwendungsbeispiel Syllogistik

Die folgenden Grafiken zeigen, wie Venn-Diagramme seit dem 17. Jahrhundert zur Veranschaulichung von Syllogismen genutzt werden. Die Gültigkeit eines Schlusses kann mit dieser Methode überprüft werden. (So sieht man etwa, dass der Modus Darapti nur unter Voraussetzung eines nichtleeren Mittelbegriffs gültig ist.)

In schwarzen Bereichen existiert kein Element (Allaussage).
In roten Bereichen existiert mindestens ein Element x (Existenzaussage).

Beweis des Modus Barbara mittels Venn-Diagrammen:   Es gibt keine M außerhalb von P, es gibt keine S außerhalb von M; also gibt es keine S außerhalb von P.

Beweis des Modus Darii mittels Venn-Diagrammen:   Es gibt keine M außerhalb von P, es gibt einige S in M; also gibt es einige S in P.

Solche Venn-Diagramme lassen sich einfach in Euler-Diagramme umformen, wie die folgende Grafik zeigt. Venn-Diagramme haben den Vorteil, dass man keine Überschneidung vergessen kann, so dass sie auch für Beweise geeignet sind. Dagegen lässt sich bei Euler-Diagrammen intuitiver erfassen, welche Mengen ineinander liegen oder sich überschneiden.

Venn-Diagramme und Euler-Diagramme

Weblinks

 Commons: Mengendiagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Mengendiagramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Erklärung eines einfachen Venn-Diagrammes anhand eines Zahlenbeispieles

Einzelnachweise

1. ↑ De Formae Logicae per linearum ductus, ~1690, erst posthum 1903 veröffentlicht in: Couturat: Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz, 292-321
2. ↑ ^{a b} Moritz Wilhelm Drobisch: Logik nach ihren einfachsten Verhältnissen, Verlag Leopold Voss, Hamburg Leipzig, 5. Auflage 1887 S.99
3. ↑ begriffslogik.de, abgerufen am 30. August 2008