Moivrescher Satz

Der Moivresche Satz auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre^[1], der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand.^[2] Er besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) x und jede natürliche Zahl n der Zusammenhang

$\left( \cos x + i\,\sin x \right)^n = \cos\left( n\,x\right) + i\,\sin\left(n\,x\right)$

gilt.^[3] Diese Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können.

Der Ausdruck $\cos x + i\,\sin x$ kann auch verkürzt als $\operatorname{cis}\,x$ dargestellt werden.

Ableitung

Der Moivresche Satz kann von der Eulerformel

$e^{i\,x} = \cos x + i\,\sin x$

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

$\left(e^{i\,x} \right)^n = e^{i\,n\,x}$

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

$(\cos\varphi+i\,\sin\varphi)\cdot(\cos\psi+i\,\sin\psi) = \cos(\varphi+\psi)+i\,\sin(\varphi+\psi)$

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung

Wenn

$\left\{z,w\right\}\in\mathbb{C}$

dann ist

$\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w$

eine mehrwertige Funktion aber nicht

$\cos\left(w\,z\right)+i\,\sin\left(w\,z\right)$.

Dadurch gilt

$\cos\left(w\,z\right) + i\,\sin\left(w\,z\right) \in \{\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w\}$

Siehe auch

• Einheitswurzel

Literatur

• Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 - Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900 - 1903).
• Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7.

Einzelnachweise

1. ↑ Braunmühl (1971), Teil 2 S. 75
2. ↑ Braunmühl (1971), Teil 2 S. 78
3. ↑ Kerner und Wahl (2007), S. 70