Multilineare Abbildung

In dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete verallgemeinern die multilinearen Abbildungen den Begriff der Determinanten sowie den Begriff des Produktes (im Sinne einer Multiplikation).

Definition

Eine multilineare Abbildung ist eine auf einem Produktraum definierte Abbildung, welche bezüglich jedem ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist: Ist p>0 eine ganze Zahl, so ist eine p-(multi)lineare Abbildung von der Form

$f: E_1\times\cdots\times E_p\to F$ mit der Eigenschaft, dass

$\forall a\in E_1\times\cdots\times E_p,\forall i\in\{1,...,p\}: f_i(a)\in L(E_i;F)$

wobei f_i(a) die partielle Abbildung

$f_i(a): E_i\to F ~;~~ x\mapsto f(a_1,...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_p)~$

und L(E;F) die Menge der linearen Abbildungen von E nach F bezeichnet.

Dies impliziert, dass alle E_i und F Moduln über demselben Ring k, oder Vektorräume über dem demselben Körper k sind.

Dies ist auch der Fall, wenn jedes E_i ein Vektorraum über einer Erweiterung k_i des Körpers k ist.

Falls F=k, spricht man von einer Multilinearform.

Die Menge aller p-linearen Abbildungen von $E_1\times\cdots\times E_p$ nach F wird mit

L_p(E₁,...,E_p;F)

bezeichnet; falls alle E_i=E dieselben sind, notiert man auch

L_p(E,...,E;F) = :L_p(E;F) und schließlich L_p(E,...,E;k) = :L_p(E).

Beispiele

Jede lineare Abbildung ist eine 1-lineare Abbildung.

Für p>1 ist die Nullabbildung die einzige lineare Abbildung, welche auch p--linear ist. (Zum Beweis schreibe man (x,y,...)=(x,o,...)+(o,y,...) und benutze f(...)=o sobald eines der Argumente null ist, aufgrund der Linearität.)

Jede bilineare Abbildung ist eine 2-lineare Abbildung.

Das Spatprodukt [x,y,z]=x·(y×z) im R³ ist eine 3-lineare Abbildung, d. h. $[\cdot,\cdot,\cdot]\in L_3(\mathbb R^3)= L_3(\mathbb R^3;\mathbb R)= L_3(\mathbb R^3,\mathbb R^3,\mathbb R^3;\R)$.

Sämtliche gemeinhin üblichen Produkte sind 2-lineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, Skalarprodukt,...

Die Determinante in einem n-dimensionalen Vektorraum ist eine n-lineare Multilinearform.

Weitere Eigenschaften

Die symmetrische Gruppe der Permutationen von {1,...,p} definiert eine Operation auf L_p(E;F),

$S_p\times L_p(E;F)\to L_p(E;F) ~;~~ (\sigma,f)\mapsto \sigma f:(x_1,...,x_p)\mapsto(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$

d. h. durch Permutation der Argumente der p-linearen Abbildung. (Man zeigt, dass σ(τ f)=(σ o τ)f, indem man dies zunächst für zwei Transpositionen (i j),(i k) zeigt.)

Eine Abbildung $f\in L_p(E;F)$ heißt dann

• symmetrisch, wenn σf = f für alle σ gilt.
• antisymmetrisch, wenn $\sigma f=\epsilon(\sigma)f$ für alle σ gilt, wobei ε(σ) die Signatur der Permutation ist.
• alternierend, wenn $f(x_1,\cdots,x_p) = 0$ sobald zwei der Argumente gleich sind.

Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer $S:f\mapsto Sf=\sum_{\sigma\in S_p}\sigma f$ und den Antisymmetrisierer $S \colon f\mapsto Sf=\sum_{\sigma\in S_p}\varepsilon(\sigma)\,\sigma f$, welche eine beliebige multilineare Abbildung f symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen". (Manche Autoren dividieren durch einen Faktor p!, um diese Operatoren idempotent (das heißt zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher Charakteristik nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn 1+1≠0, und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).

Tensoren

Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung $A_1 \times \cdots \times A_n \to B$ gibt es genau einen Homomorphismus $A_1 \otimes_R \cdots \otimes_R A_n \to B$, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Literatur

A. L. Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.