Hessesche Normalform

Darstellung von Normale und Abstand der hesseschen Normalform

Die hessesche Normalform (Hesse-Normalenform), benannt nach Ludwig Otto Hesse, ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene (E) im euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ oder eine Gerade (g) im $\mathbb{R}^2$ beschreibt und hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet wird. In vektorieller Schreibweise lautet sie:

${\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}$

Ein Punkt P, der in einem gegebenen Koordinatensystem den Ortsvektor $\vec r$ hat, liegt genau dann in der Ebene E (auf der Geraden g), wenn diese Gleichung erfüllt ist.

Dabei steht $\vec n_0$ für den normierten Normalenvektor (Normaleneinheitsvektor) von E bzw. g, der vom Koordinatenursprung zur Ebene bzw. Geraden zeigt. $d \ge 0$ ist der Abstand der Ebene (der Geraden) vom Ursprung des Koordinatensystems. Das Multiplikationszeichen $\cdot$ drückt ein Skalarprodukt aus.

Herleitung/Berechnung aus der Normalgleichung

Vorbemerkung: Aus Gründen der Einfachheit ist im Folgenden jeweils von einer Ebene die Rede. Die Überlegungen lassen sich aber auf den Fall einer Geraden übertragen.

In der Normalgleichung

$({\vec r -\vec a)\cdot \vec n = 0}$,

ist die Ebene durch einen Normalenvektor $\vec n$ sowie einen beliebigen Ortsvektor $\vec a$ eines Punktes $A \in E$ gegeben. Die Richtung von $\vec n$ sei so gewählt, dass

$\vec a\cdot \vec n \geq 0$ ist.

Indem man $\vec n$ durch seinen Betrag $| \vec n |$ dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

und es gilt

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n_0 = 0$.

Indem man

$d = \vec a\cdot \vec n_0 > 0$

berechnet, erhält man die hessesche Normalform

${\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}$.

d ist hierin der Abstand vom Ursprung. Da $\vec r \cdot \vec n_0 = d$ für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q (Fußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die Ebene E) mit $\vec r = \vec r_s$. Dann ist nach Definition des Skalarproduktes

$d = \vec r_s \cdot \vec n_0 = |\vec r_s| \cdot |\vec n_0| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec r_s| \cdot 1 = |\vec r_s|$.

Der Betrag $|\vec r_s|$ von ${\vec r_s}$ ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Berechnung aus drei Punkten der Ebene

Aus drei Punkten der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, lässt sich in zwei Schritten die Hessesche Normalform berechnen.

1. Aus den Ortsvektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ der drei Punkte A, B und C wird der Normaleneinheitsvektor $\vec n_0$ berechnet.
2. Mit dem Normaleneinheitsvektor lässt sich der Abstand d berechnen.

Berechnung des Normaleneinheitsvektor

Der Normaleneinheitsvektor lässt sich über ein Gleichungssystem oder das Kreuzprodukt berechnen.

Gleichungssystem

Man wertet die folgenden Gleichungen aus:

$(\vec b - \vec a) \cdot \vec n = 0 ,$

$(\vec c - \vec a) \cdot \vec n = 0 .$

Dieses Gleichungssystem wird erst dadurch eindeutig lösbar, dass man als zusätzliche Bedingung die Normierung

$|\vec n| = 1 ,$

also

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1\ \Rightarrow \ n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$

verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag (die l₂-Norm) $|\vec n|$ des Vektors $\vec n$ zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man $\vec n$ durch $|\vec n|$ dividiert.

Beispiel

$\vec a = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \quad \vec b = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}; \quad \vec c = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\vec b - \vec a = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec c - \vec a = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem:

− n₁ − n₂ + n₃ = 0

− 2n₁ + n₂ = 0

mit der zusätzlichen Bedingung

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1$

Lösung:

In dem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in drei Unbekannten kann man eine Variable, etwa n₁ frei wählen. Wählt man n₁ = 1, so liefert die zweite Gleichung n₂ = 2. Einsetzen in die erste Gleichung liefert dann n₃ = 3. Der so gefundene Normalenvektor

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

hat die Länge $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$. Indem man mit dem Kehrwert der Länge multipliziert, erhält man den Normaleneinheitsvektor:

$\vec n_0 = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Kreuzprodukt

Ein anderer Weg zur Berechnung des Normaleneinheitsvektor führt über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis

$\vec n = (\vec b - \vec a) \times (\vec c - \vec a)$,

wobei man aber auch hier im Allgemeinen $\vec n$ noch normieren muss:

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}} .$

Berechnung des Abstands

Nun gilt:

• $d = |\vec a| \cdot \cos \phi$
• $\vec a \cdot \vec n = |\vec a| \cdot |\vec n| \cdot \cos \phi$ (Definition des Skalarprodukts)
• Da $\vec n_0$ auf die Länge 1 normiert ist, kann man schreiben: $\vec a \cdot \vec n_0 = |\vec a| \cdot 1 \cdot \cos \phi = |\vec a| \cdot \cos \phi = d$.

Also ergibt sich aus $d = \vec a \cdot \vec n_0$ schließlich wieder der Abstand der Ebene zum Nullpunkt.

Beispiel

$d = \vec a \cdot \vec n_0 = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}}$

Hessesche Normalform:

$\vec r \cdot \frac 1 {\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac 4 {\sqrt{14}} = 0$

Anwendung zur Abstandsberechnung

Allgemein erhält man den Abstand s eines beliebigen Punktes P von der Ebene E, indem man den Ortsvektor $\vec p$ von P für $\vec r$ in die linke Seite der hesseschen Normalform einsetzt:

${ \vec p\cdot \vec n_0 - d}= s$

Ist s < 0, so liegt P in demselben Halbraum von E wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen von s hingegen im anderen Halbraum.

Verallgemeinerung

Die hessesche Normalform (nicht aber die Berechnung über das Kreuzprodukt) kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.

Siehe auch

• Geradengleichung
• Parameterdarstellung