Petersson-Skalarprodukt

In der Mathematik versteht man unter dem Petersson-Skalarprodukt ein bestimmtes Skalarprodukt auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Eingeführt wurde dieses Skalarprodukt von Hans Petersson.

Definition

Es sei $\mathbb{M}_k$ der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht k und $\mathbb{S}_k$ der Vektorraum der Spitzenformen.

Die Abbildung $\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathbb{S}_k \times \mathbb{S}_k \rightarrow \mathbb{C}$,

$\langle f , g \rangle := \int_\mathrm{F} f(\tau) \overline{g(\tau)} (\operatorname{Im}\tau)^k {\rm d}\nu (\tau)$

heißt Petersson-Skalarprodukt. Dabei ist

$\mathrm{F} = \{ \tau \in \mathrm{H} | \left| \operatorname{Re}\tau \right| \leq \frac{1}{2}, \left| \tau \right| \geq 1 \}$

der Fundamentalbereich der Modulgruppe Γ, und für τ = x + iy ist

dν(τ) = y ^{− 2}dxdy

das hyperbolische Volumenelement. Man beachte, dass man formal auch für eine der beiden Komponente des Skalarpodukts eine ganze Modulformen aus $\mathbb{M}_k$ in die obige Formel einsetzen darf, weil das Integral auch dann noch konvergiert. Jedoch müssen in der Definition eines Skalarprodukts beide Komponenten aus demselben Vektorraum stammen, weshalb man das Petersson Skalarprodukt üblicherweise in der obigen Form definiert.

Eigenschaften

Das Integral ist absolut konvergent, und das Petersson-Skalarprodukt ist eine positiv definite Hermitesche Form.

Für die Hecke-Operatoren T_n gilt

$\langle T_n f , g \rangle = \langle f , T_n g \rangle$.

Damit lässt sich zeigen, dass der Vektorraum der Spitzenformen eine Orthonormalbasis aus simultanen Eigenformen zu den Hecke-Operatoren besitzt und dass die Fourier-Koeffizienten dieser Formen alle reell sind.

Literatur

• T.M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1990, ISBN 3-540-97127-0.
• M. Koecher, A. Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• S. Lang: Introduction to Modular Forms. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 2001, ISBN 3-540-07833-9.