Poissonsche Summenformel

Poissonsche Summenformel

Die poissonsche Summenformel ist ein wichtiges Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Sei f \in \mathcal{S}(\R) eine Schwartz-Funktion und sei


  \hat f(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega)
  =\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-2\pi i\omega\cdot t}\,dt

die Kontinuierliche Fourier-Transformation von f in \mathcal{S}. Dann besagt die poissonsche Summenformel

\sum_{n\in\Z}f(n) = \sum_{k\in\Z}\mathcal{F}(f)(k).

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion f zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck (1+t^2)\,(|f(t)|+|f''(t)|) beschränkt ist.

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern t,\nu\in\R

\begin{align}
\sum_{n\in\Z}f(t+nT)e^{-2\pi i\nu nT}
&=\sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+ \cdot T)e^{-2\pi i\nu \cdot T})(k)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+ \cdot)e^{-2\pi i\nu \cdot}) \left(\frac{k}{T}\right)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+ \cdot))\left(\frac{k}{T}+\nu\right)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} e^{2\pi i (k/T+\nu)t} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k}{T}+\nu\right).
\end{align}

Setzt man in der allgemeineren Form t = 0,


 \sum_{n\in\Z}f(nT)e^{-2\pi i\nu nT}
 =\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k}{T}+\nu\right),

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von f als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von f auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn f eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in L^2(\R) mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge T \in \R ist die Distribution


  \Delta_T=\sum_{n\in\mathbb Z}\delta_{nT}.

Die Fourier-Transformierte \mathcal{F} A\in\mathcal S'(\mathbb R) einer temperierten Distribution A\in\mathcal S'(\mathbb R) ist definiert durch

\langle \mathcal{F} A,\, \phi\rangle=\langle A,\,\mathcal{F}\phi\rangle \quad (\phi\in\mathcal S(\mathbb R)),

in Analogie zur Plancherel-Identität. Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf der Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass


 \mathcal{F} \Delta_T = \frac{1}{T} \Delta_{1/T}

ist. Dies lässt sich auch in der Form

\Delta_T=\frac1T\sum_{k\in\Z}e^{i(2\pi k/T)t}

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis

Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

g(t):=\sum_{n\in\mathbb Z}f(t+n)

stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,

g(t)=\sum_{k\in\mathbb Z} c_k\cdot e^{2\pi i kt}.

Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel

c_k=\int_{0}^{1} g(t)\cdot e^{-2\pi i kt}\,dt
=\int_{0}^{1} \sum_{n\in\mathbb Z} f(t+n)\cdot e^{-2\pi i k(t+n)}\,dt.

Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

c_k=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_{n}^{n+1} f(s)\cdot e^{-2\pi i ks}\,ds
=\int_{-\infty}^\infty f(s)\cdot e^{-2\pi i k s}\,ds=\mathcal{F} f(k).

Zusammenfassend gilt


 \sum_{n\in\mathbb Z}f(t+n)
 =\sum_{k\in\mathbb Z}\mathcal{F}f(k) e^{2\pi i kt},

woraus sich bei t = 0 die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen

Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt supp \hat x\subset [-W,W]. Ist dann |WT|\le \pi, so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen \omega:=-2\pi\nu\in[-W,W], t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man

\sqrt{2\pi}\hat x(\omega)e^{i\omega t}=T\sum_{n\in\mathbb Z} x(nT)e^{i\omega(t-nT)}.

Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich


x(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-W}^W\hat x(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega
=T\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT)\frac{\sin(W(t-nT))}{\pi(t-nT)}.

Im Grenzfall WT = π ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems


   x(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT)\operatorname{sinc}(t/T-n),

wobei \operatorname{sinc} die Sinc-Funktion mit 
   \operatorname{sinc}(t):=\tfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}
ist.

Literatur

  • Elias M. Stein, Guido Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1971, ISBN 978-0-691-08078-9.
  • J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, ISSN 0002-9904, S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
  • John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, ISSN 0002-9904, S. 505–523, online.

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