- Temperierte Distribution
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Eine temperierte Distribution ist ein Objekt aus der Distributionentheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Eine temperierte Distribution ist ein Spezialfall einer Distribution. Laurent Schwartz führte 1947 den Raum der temperierten Distributionen ein, um die Fourier-Transformation in seine Distributionentheorie integrieren zu können.
Inhaltsverzeichnis
Schwartz-Raum
Um temperierte Distributionen definieren zu können, wird zuerst der Raum der schnell fallenden Funktionen erläutert. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen null, dass sie und alle ihre Ableitungen schneller als jede Polynomfunktion fallen. Die Menge all dieser Funktionen wird auch als Schwartz-Raum
bezeichnet und ist durch
definiert. Durch die Halbnormen
wird der Schwartz-Raum zu einem metrisierbaren lokalkonvexem Raum. Die Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fourier-Transformation ein Automorphismus auf diesem ist. Außerdem ist der Raum in allen Sobolew-Räumen enthalten. Der Raum
der Testfunktionen lässt sich stetig in den Schwartz-Raum einbetten und liegt in diesem dicht.
Definition
Eine temperierte Distribution ist ein stetiges, lineares Funktional auf dem Schwartz-Raum, also eine stetige lineare Abbildung
. Da die Menge der temperierten Distributionen der Definition nach den topologischen Dualraum von
bilden, wird dieser Raum mit
notiert. Aufgrund dieser Dualität spricht man auch von den langsam wachsenden Distributionen im Gegensatz zu den schnell fallenden Funktionen.
Beispiele
- Delta-Distribution
- Dirac-Kamm
- Alle Distributionen, die durch eine Polynomfunktion erzeugt werden, sind temperierte Distributionen. Ist P also eine Polynomfunktion, dann ist das stetige Funktional
eine temperierte Distribution. Diese Distributionen sind im Gegensatz zur Delta-Distribution beziehungsweise im Gegensatz zum Dirac-Kamm reguläre Distributionen.
Gelfandsches Raumtripel
Der Schwartz-Raum
liegt dicht im Hilbertraum
, der quadratintegrierbaren Funktionen. Aus diesem Grund gilt für ihre Dualräume die Inklusion
und aus dem Satz von Riesz-Fischer folgt
Dies führt insgesamt zu der Inklusion
Die stetige Einbettung
ist die normale Identifizierung einer Funktion mit einer Distribution. Das heißt, i ist die Abbildung
Das Paar
ist ein Beispiel für einen erweiterten Hilbertraum, beziehungsweise das Tripel
ein Beispiel für ein gelfandsches Raumtripel (nach Israel Gelfand). In allen drei Räumen ist die Fourier-Transformation ein Automorphismus.
Die Funktionen des kontinuierlichen Anteils des Eigenwertspektrums eines Operators auf L2 sind im allgemeinen nicht quadratintegrierbar, können aber als Element von
aufgefasst werden. Weitere Einzelheiten finden sich in Band III der unter Literatur angegebenen Bücher von Gelfand. In der Anwendung auf die Quantenmechanik bedeutet das, dass der Raum
beispielsweise Eigenfunktionen des Orts- oder Impulsoperators (in der Standard-Darstellung sind dies ebene Wellen) enthält, die nicht in
enthalten sind, weil das Integral über ihr Betragsquadrat divergiert.
Fourier-Transformation
Definition
Sei
eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte
ist für alle
definiert durch
.
In diesem Kontext ist die Fourier-Transformation auf Funktionen durch
definiert. Es gibt auch eine andere Konvention für die Fourier-Transformation mit dem Vorfaktor
. Diese wird in diesem Artikel aber nicht verwendet.
Eigenschaften
Man stattet die Menge
mit der Schwach-*-Topologie aus. Dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf
. Das Fourier-Urbild von
berechnet sich mit der Formel
Beispiel
- Sei
und
die Deltadistribution zum Punkt a. Für die Fourier-Transformation gilt dann
.
Also entsprichtder von
erzeugten Distribution. Im Fall a = 0 entspricht also
der von 1 erzeugten Distribution. Verwendet man bei der Fourier-Transformation noch den Vorfaktor
dann ist das Ergebnis des Beispiels die Distribution, die von
erzeugt wird.
- Sei nun
die von der konstanten Eins-Funktion erzeugte Distribution. Der naheliegende Ansatz den Ausdruck
zu berechnen scheitert, da er auf ein nicht absolut konvergentes Integral führt. Zum Lösen benötigt man obiges Beispiel und einen kleinen Trick. Es gilt
.
Fourier-Laplace-Transformation
In diesem Abschnitt wird die Fourier-Transformation nur für Distributionen mit kompaktem Träger betrachtet. Da die Fourier-Transformation in diesem Kontext besondere Eigenschaften hat, nennt man sie dann Fourier-Laplace-Transformation. Sei
also eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist die Laplace-Fourier-Transformation durch
definiert. Dies ist wohldefiniert, denn man kann zeigen, dass
eine Funktion ist, welche sogar für alle
analytisch - also ganz - ist. Außerdem stimmt diese Definition mit der obigen Definition überein, falls die Distributionen kompakten Träger haben.
Laplace-Transformation
Für temperierte Distributionen kann man ebenfalls eine Laplace-Transformation definieren. Diese sieht ähnlich aus wie die Fourier-Laplace-Transformation aus dem vorigen Abschnitt. Sei
eine temperierte Distribution mit Träger in
, dann ist die Laplace-Transformation
von u durch
definiert. Das Resultat der Transformation ist ebenfalls wieder eine ganze Funktion. Im Gegensatz zur Fourier-Laplace-Transformation ist die Laplace-Transformation auch für temperierte Distributionen definiert, die keinen kompakten Träger haben. Dies ist möglich, da das Abklingverhalten von
besser ist als das des Fourier-Kerns
.
Literatur
- Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
- Otto Forster, Joachim Wehler: Fourier-Transformation und Wavelets. 2001 (Skript).
- R. J. Beerends, H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie: Fourier and Laplace transforms. Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0521534413.
- Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
- Band 1: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen. 1960 (Hochschulbücher für Mathematik 47, ISSN 0073-2842);
- Band 2: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Lineare topologische Räume, Räume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen. 1962 (Hochschulbücher für Mathematik 48);
- Band 3: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 49);
- Band 4: I. M. Gelfand, N. J. Wilenkin: Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gelfandsche Raumtripel. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 50).
- nur in russischer Sprache: Обобщенные функции. Том 5: И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Гос. Изд. Физ.-Мат. Лит., Москва 1962.
- Klaus-Heinrich Peters: Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen. Eine historische Untersuchung über die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst. 2004 (Hamburg, Univ., Diss., 2003), online (PDF; 2,72 MB).
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