Projektionssatz

Der Projektionssatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionalanalysis. In letzter Konsequenz werden mit ihm partielle Differentialgleichungen konstruktiv gelöst. Er ist ein Beispiel dafür, wie in der Funktionalanalysis geometrische Überlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten führen. Letztlich wird ein Vektor bezüglich eines gegebenen linearen Teilraums in zwei Komponenten zerlegt. Dabei liegt eine Komponente in dem gegebenen linearen Teilraum und die andere ist senkrecht dazu. Man sagt, die erste Komponente ist die Projektion des Vektors auf den linearen Teilraum.

Aussage

Sei $\mathcal M\subset\mathcal H$ ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraums $\mathcal H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Dann gibt es für alle $f\in\mathcal H$ genau ein $f_1\in\mathcal M$ und genau ein $f_2\in\mathcal M^\perp$ mit f = f₁ + f₂.^[1]

Dabei ist $\mathcal M^\perp := \{ g\in\mathcal H\mid \langle f,g \rangle=0$ für alle $f\in\mathcal M\}$ das orthonogonale Komplement von $\mathcal{M}$. Der Name Projektionssatz rührt daher, dass durch die Zuordnung $f\mapsto f_1$ die Orthogonalprojektion auf $\mathcal{M}$ gegeben ist.

Beweisskizze

Unter Ausnutzung der Sesquilinearität des Skalarproduktes zeigt man zunächst die Eindeutigkeit der Darstellung. Dann betrachtet man folgendes Variationsproblem: Finde ein $f_1\in\mathcal M$ mit $\|f-f_1\| = \inf_{g\in\mathcal M}\|f-g\| =:d$. Dabei ist $\|.\|$ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Mit direkten Methoden und der Parallelogrammgleichung sieht man die Lösbarkeit des Variationsproblems ein. Schließlich benutzt man wiederum das Skalarprodukt, um $f_2=(f-f_1)\in\mathcal M^\perp$ zu erkennen.

Konsequenzen

Man beachte, dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar, wenn auch sehr abstrakt ist. Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum. Neben den oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren gesichert. Der Projektionssatz führt zur Existenz eines vollständigen Orthonormalsystems in Hilberträumen. Die Entwicklung bzgl. einer solchen Orthonormalbasis ist eine abstrakte Version der Fourier-Reihenentwicklung. Schließlich ist der Projektionssatz eine der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des Rieszschen Darstellungssatzes.

Verallgemeinerung

Sei $C\subset\mathcal H$ eine abgeschlossene, konvexe, nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums. Dann gibt es für jedes $f\in\mathcal H$ genau ein $f_1\in C$, so dass der Abstand minimal wird, es gilt also $\|f-f_1\|=\mathrm{min}\{\|f-g\|\colon g\in C \}$.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.7
2. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.4