Projektive Transformationen

Eine kollineare Abbildung (oder: Projektive Abbildung, Projektive Transformation), auch Kollineation, ist eine bijektive Abbildung zwischen projektiven Ebenen bzw. Räumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet. Dabei werden Vierecke, insbes. also Quadrate, auf allgemeine Vierecke abgebildet.

Spezialfälle der kollinearen Abbildung sind die affinen Abbildungen. Eine Kollineation einer affinen Inzidenzebene ist eine bijektive Abbildung, bei der Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden bei Inzidenzerhalt abgebildet werden und bei der die Parallelität von Geraden invariant ist, d. h. erhalten bleibt. Quadrate werden also auf Parallelogramme abgebildet.

Ein weiterer Spezialfall ist die geometrische Bewegung, oder auch die Ähnlichkeitsabbildung, bei der Quadrate auf Quadrate abgebildet werden.

Eine kollineare Abbildung einer klassischen projektiven Ebene auf sich kann unter Verwendung homogener Koordinaten aus einem Körper K als Matrix-Vektor-Produkt geschrieben werden.

$q = A \cdot p$

oder in den einzelnen Koordinaten:

$\begin{pmatrix} q_{0} \\ q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \end{pmatrix}$

dabei sind p und q Elemente des dreidimensionalen Vektorraumes über K, und p0,p1,p2 oder q0,q1,q2 homogene Koordinaten (oder projektive Koordinaten) eines Punktes in der Ebene. Die zugehörigen kartesischen Koordinaten sind über

$\begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} p_1/p_0 \\ p_2/p_0 \\ \end{pmatrix}\quad\quad \mathrm{und}\quad\quad \begin{pmatrix} q_x \\ q_y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} q_1/q_0 \\ q_2/q_0 \\ \end{pmatrix}$

gegeben. Die obige Matrix muss nichtsingulär (invertierbar) sein, d. h. ihre Determinante ist nicht Null.

Ein typisches Beispiel für eine kollineare Abbildung ist die Zentralprojektion einer Ebene auf eine andere in einem projektiven Raum.

Besonders wichtige Kollineationen sind die zentralen Kollineationen. Diese bilden jede Gerade durch einen festen Punkt Z (das Zentrum) auf sich ab. Sie lassen im Fall der Ebene alle Punkte einer Geraden (der Achse) und im Fall des Raumes alle Punkte einer Ebene bzw. Hyperebene (wieder Achse genannt) einzeln fest. Wenn das Zentrum auf der Achse liegt, spricht man von einer Elation, anderenfalls von einer Homologie (das hat nichts mit dem Homologiebegiff der Topologie zu tun).

Siehe auch

• Kollinearitätsgleichung