Punktmenge

Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne „Elemente“ (z. B. Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge muss kein Element enthalten (diese Menge heißt die „leere Menge“). Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten oder nicht enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist, oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.

Begriff und Notation von Mengen

Der Begriff Menge geht auf Georg Cantor zurück, der eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen beschrieb. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff Menge noch der Begriff Element werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen, Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern ein Behältnis, das nichts enthält.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot}, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird.

Oft ist es ungünstig oder (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. In diesen Fällen gibt es eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel M = { x | x ist eine Grundfarbe }.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen; z. B. G:= { x | x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2 }, gelesen „sei G die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“, oder kürzer: „sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen > 2“.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich.

Andere Schreibweisen

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

• die aufzählende Schreibweise M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden.
• bei der elliptischen Schreibweise werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = { 3, 6, 9, 12, …, 96, 99 }. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = { 4, 6, 8, 10, … } die Menge der geraden, natürlichen Zahlen, die größer sind als 2 (also das obige Beispiel G).
• Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie z. B. aus A und B die Schnittmenge $M = A\cap B$. Diese kann intensional geschrieben werden als M = { x | x ist in A und x ist in B }
• ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man dafür formal: $x \in \mathbf M$. Die Verneinung (x ist kein Element von M) schreibt man als: $x \notin M$.

Teilmenge

→ Hauptartikel: Teilmenge

Wenn alle Elemente in einer Menge A auch in einer zweiten Menge B enthalten sind, so nennt man Menge A eine Teilmenge von Menge B. Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A. Für Teilmengen wird das Zeichen $\subseteq$ verwendet.

Formal: Es gilt $A \subseteq B$, wenn aus $x \in A$ folgt, dass $x \in B$ ist.

Nach dieser Definition ist jede Menge auch Teilmenge von sich selbst: $A \subseteq A$. Der Unterstrich in dem Zeichen $\subseteq$ soll das andeuten, indem er an ≤ erinnert. Eine echte Teilmenge von B ist eine Teilmenge, die nicht B selbst ist, geschrieben $A\subset B$.

Hinweis: Die Notation der Teilmengenrelation ist uneinheitlich, die beiden folgenden Möglichkeiten sind heute üblich, wobei die erste der ursprünglich von Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten entspricht:

• $\subseteq$ steht für „Teilmenge“, $\subset$ für „echte Teilmenge“
• $\subset$ steht für „Teilmenge“, $\subsetneq$ für „echte Teilmenge“.

Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt)

$A \cap B$ – Schnittmenge von A und B

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in jeder der beiden Mengen enthalten sind (also sowohl in A als auch in B). Die Schnittmenge von A und B wird $A \cap B$ geschrieben.

Formal: Es gilt $x \in A \cap B$ genau dann, wenn $x \in A$ und $x \in B$.

Besitzen zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Vereinigung (Vereinigungsmenge, „Summe“)

$A \cup B$ – Vereinigungsmenge von A und B

Die Vereinigungsmenge aus zwei Mengen A und B erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in der einen oder in der anderen Menge enthalten sind (oder möglicherweise auch in beiden). Das Zeichen dafür ist $\cup$.

Formal: Es gilt $x \in A \cup B$, wenn $x \in A$ oder $x \in B$; das „oder“ ist hier nicht ausschließend zu verstehen: Wenn beides zutrifft, wird das auch akzeptiert.

Differenz (Differenzmenge, „Differenz“)

Die „Differenz“ zweier Mengen erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Das Zeichen dafür ist $\setminus$.

Formal: Es gilt $x \in A \setminus B$, wenn $x \in A$ und $x \not\in B$.

Beispiele

• Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet $\lbrace 11, \, 22, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \rbrace$. 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
• Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \lbrace 1, \, 2, \, 3, \ldots \rbrace$ ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \lbrace \ldots, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \ldots \rbrace$.

Sonstiges

• Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Raumes werden aus historischen Gründen oder, um einen Hinweis auf die darin enthaltenen Elemente zu geben, oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Herkunft der Mengenlehre.
• In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus).
• In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.
• Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene auf.
• Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme.
• Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch „Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ (Funktionen).

Siehe auch

• Kartesisches Produkt
• Potenzmenge
• Multimenge

Literatur

• Klaus Kursawe: Mengen, Zahlen, Operationen. Scripta Mathematica. Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0.
• Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik, Mengen, Relationen. Studium und Lehre Mathematik. Verlag-Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0.
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1928, Dr. Martin Sändig oHG, Walluf 1972 (Repr.), ISBN 3-500-24960-4.
• Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Aufl. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1969.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
• H. Schinköthe: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI-Verlag, Volxheim 2000 (Libri/BoD), ISBN 3-8311-0701-7.