Pyramide (Mathematik)

Die Pyramide gehört zu den (dreidimensionalen) Körpern, die in der Geometrie betrachtet werden.

Definition und Begriffe

Eine Pyramide ist ein spezielles Polyeder (also ein Vielflächner). Sie wird begrenzt von einem Vieleck (Polygon) beliebiger Eckenzahl (der Grundfläche) und mindestens drei Dreiecken (Seitenflächen), die in einem Punkt (der Spitze der Pyramide) zusammentreffen. Die Gesamtheit der Seitenflächen bezeichnet man als Mantelfläche. Die Pyramide erfüllt die allgemeine Definition eines Kegels.

Hat die Grundfläche einer Pyramide n Ecken, so ist die Anzahl der (dreieckigen) Seitenflächen ebenfalls gleich n, sodass die Pyramide insgesamt n+1 Flächen hat. In diesem Fall besitzt die Pyramide n+1 Ecken, nämlich n Ecken der Grundfläche und die Spitze, sowie 2n Kanten, nämlich n Kanten der Grundfläche und n Kanten, welche die Ecken der Grundfläche mit der Spitze verbinden. Damit ist der eulersche Polyedersatz über die Anzahlen von Ecken (e), Flächen (f) und Kanten (k) erfüllt:

e + f = (n + 1) + (n + 1) = 2n + 2 = k + 2.

Für die Berechnung des Pyramidenvolumens (siehe unten) ist der Begriff der Höhe wichtig. Man versteht darunter den (kürzesten) Abstand der Spitze von der Ebene, in der die Grundfläche liegt. Der Fußpunkt der Höhe muss dabei nicht unbedingt im Inneren der Grundfläche liegen. Liegt er außerhalb, spricht man von einer „schiefen Pyramide“.

Spezialfälle

Tetraeder

Eine Pyramide, die als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck hat und deren drei Seitenflächen ebenfalls gleichseitige, zur Grundfläche kongruente Dreiecke sind, nennt man (regelmäßiges) Tetraeder (Vierflächner). Wenn man sie umkippen würde, würde sie noch genauso aussehen wie vorher.

Gerade Pyramide

Eine Pyramide mit einem regelmässigen Vieleck (Polygon) als Grundfläche heißt gerade, wenn alle Seitenkanten (d. h. alle Kanten, die von der Spitze ausgehen) gleich lang sind. Ist die Grundfläche kein regelmässiges, aber wenigstens ein punktsymmetrisches Polygon, so kann auch noch von einer geraden Pyramide gesprochen werden, falls das Symmetriezentrum dieses Polygons mit dem Höhenfusspunkt der Pyramide zusammenfällt. Die Seitenkanten können dann allerdings im Allgemeinen verschiedene Längen aufweisen.

Ist die Grundfläche einer Pyramide weder ein regelmässiges noch ein punktsymmetrisches Polygon, dann hat der Begriff gerade keine sinnvolle Bedeutung mehr: Ist die Grundfläche beispielsweise ein beliebiges Dreieck, so muss die Spitze der Pyramide senkrecht über seinem Umkreismittelpunkt liegen, damit alle Seitenkanten gleich lang sind. Ist dieses Dreieck weiter stumpfwinklig, dann liegt der Lotfusspunkt der Spitze sogar ausserhalb der Grundfläche - was der (anschaulichen) Bedeutung von gerade widerspricht.

Regelmäßige (reguläre) Pyramide

Von einer regelmäßigen oder regulären Pyramide spricht man, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der Mittelpunkt dieses Vielecks zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist. Jede regelmäßige Pyramide ist daher auch gerade. Zu den regelmäßigen Pyramiden zählen neben den schon erwähnten regelmäßigen Tetraedern auch die quadratischen Pyramiden. Diese haben ein Quadrat als Grundfläche, wobei die Verbindungsstrecke zwischen dem Quadratmittelpunkt und der Pyramidenspitze senkrecht zur Grundfläche verläuft.

Eigenschaften

Der Schwerpunkt einer regelmäßigen oder regulären Pyramide liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Schwerpunkt der Grundfläche und der Pyramidenspitze. Er teilt diese Strecke im Verhältnis 1:3 und hat daher den Abstand $\frac{1}{4}h$ von der Grundfläche.

Oberflächenberechnung (quadratische Pyramide)

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche (G) und dem Mantel (M)

Ist die Seitenlänge (a) gegeben, ergibt sich folgende Formel: O = a² + M

Mantelflächenberechnung (quadratische Pyramide)

Bei einer regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzt sich die Mantelfläche aus den vier Flächen kongruenter, gleichschenkliger oder eventuell auch gleichseitiger Dreiecke zusammen. Siehe auch [1].

Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:

Die Fläche eines dieser Dreiecke ist: $A_D = \frac{h_a}{2}\,a$ , alle vier Flächen also: $M = 4 \frac{h_a}{2}\,a$ , oder nach Umformung: $M = 2 \ h_a \ a$

Hierbei ist h_a die Höhe der kongruenten Seitendreiecke.

Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich: ${h_a}^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

daraus folgt: $h_a = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$ und damit für die Mantelfläche insgesamt: $M = 2a \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$ oder nach Umformung: $M = a \sqrt{4 \ h^2 + a^2}$

Längenberechnung der Steilkanten (quadratische Pyramide)

Neben den vier Grundflächenkanten (a), die mit der Seitenlänge identisch sind, besitzt die quadratische Pyramide noch vier gleich lange Steilkanten auch Grate genannt (AS), (BS), (CS) und (DS), welche von den Eckpunkten der Grundfläche ausgehen und nach oben ansteigend sich in der Pyramidenspitze (S) treffen.

Sind die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, so ergeben sich folgende Formeln beziehungsweise Lösungsgleichungen:

Zunächst muss die Länge der Grundflächendiagonale (d) berechnet werden. Diese ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: d² = a² + a² daraus folgt: $d = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2}$

Für die weitere Berechnung benötigt man die Hälfte von (d), also: $\frac{d}{2}$ ist dann $\frac{a}{2}\sqrt{2}$ und das Quadrat davon ist nach Umformung $\frac{a^2}{2}$

Zur Berechnung von AS verwendet man wieder den Satz des Pythagoras: ${AS}^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$ und daraus folgt dann für den Grat $AS = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$

Berechnung der Gesamtkantenlänge (quadratische Pyramide)

Die Gesamtkantenlänge der quadratischen Pyramide (K) setzt sich aus den vier Seitenlängen (a) und den vier gleich langen Graten (AS), (BS), (CS) und (DS) zusammen. Sind wiederum die Seitenlänge (a) und die Pyramidenhöhe (h) gegeben, ergibt sich für die Gesamtkantenläge folgende Lösungsgleichung:

$K = 4 \ a + 4 \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$ oder nach Umformung $K = 4 \left( a + \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}\right)$

Volumenberechnung

Formel

Das Volumen V einer Pyramide errechnet sich aus dem Inhalt der Grundfläche (G) und der Höhe (h) gemäß

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

Diese Formel gilt für alle Pyramiden. Es spielt also keine Rolle, ob die Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... ist. Die Formel ist auch gültig, wenn der Höhenfußpunkt nicht mit dem Grundflächenmittelpunkt übereinstimmt oder die Grundfläche gar keinen Mittelpunkt besitzt. Im Spezialfall einer quadratischen Pyramide ergibt sich $V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$, wobei a die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist und h die Höhe. Die allgemeine Formel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ entspricht übrigens der Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$ für einen Kreiskegel. Dies liegt daran, dass jede Pyramide die Definition eines allgemeinen Kegels erfüllt.

Elementargeometrische Begründung

Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in drei Schritten begründen:

• 1. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.

Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.

• 2. Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$.

Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.

• 3. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.

Zu einer gegebenen Pyramide gibt es nämlich eine Dreieckspyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 1. das gleiche Volumen besitzt. Da nach 2. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.

Begründung mit Hilfe der Integralrechnung

Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G und Höhe h kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke dy parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe h mit der y-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand y von der Spitze mit A(y), so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für A(y) herleiten:

$A(y) : G = y^2 : h^2 \, \rightarrow \, A(y) = \frac{G}{h^2}y^2$

Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(y)dy. Schließlich ist das Volumen der Pyramide die Summe der Volumina aller einzelnen Schichten. Diese Summe ergibt sich durch Integration von y=0 bis y=h.

$V=\int_{0}^{h} dV = \int_{0}^{h} A(y)\, \mathrm{d}y = \int_{0}^{h} \frac{G}{h^2}y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2}\int_{0}^{h} y^2\, \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[y^3\right]^h_0 = \frac{G}{h^2} \cdot \frac{1}{3}\left[h^3-0\right]=\frac{1}{3}G \cdot h$

Pyramidenvolumen als Extremwert

Papiermodell einer quadratischen Pyramide mit maximalem Volumen

Die Kugel, der Würfel oder auch das regelmäßige Tetraeder sind Körper, deren Volumen bei gegebener Oberfläche maximal ist, d. h. jede Änderung der äußeren Form würde ein kleineres Volumen ergeben. Das gleiche gilt für das regelmäßige Oktaeder, welches sich als zwei mit den Grundseiten zusammengesetzte quadratische Pyramiden aus je 4 gleichseitigen Dreiecken verstehen lässt. Eine quadratische Pyramide mit maximalem Rauminhalt ist jedoch vergleichsweise spitz. Bezieht man die Grundfläche natürlicherweise in die Gesamtoberfläche einer Pyramide mit ein, so ergibt sich für eine solche Pyramide mit der Grundseite der Länge a eine Höhe von $h = a \sqrt{2}$ und ein Volumen $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\$, wobei die Dreiecke der Mantelfläche eine Höhe von $\frac{3}{2}a$ aufweisen.

Vermessung eines Pyramidenbauwerks

Bei einer großen Pyramide lassen sich die Kantenlängen der Basis direkt gut vermessen, jedoch nicht die Höhe, die nicht direkt zugänglich ist. Im folgenden sollen die grundsätzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden, die nicht so sehr mit der Methodik des Messverfahrens selbst zusammenhängen. Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Höhenbestimmung größerer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels. In vereinfachter Form durch die folgende Grafik aufgezeigt:

Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter Form

In einem Abstand s von der unteren Pyramidenkante wird die Spitze der Pyramide unter dem gemessenen Winkel α angepeilt. Der Abstand des Beobachtungspunktes von der Pyramidenspitze in horizontaler Linie ist somit die halbe Grundseite a/2 + s. Die Höhe h ergibt sich aus der Formel in der Grafik. Damit wäre die Bestimmung der Höhe ein geringes Problem. Es gibt jedoch folgende Schwierigkeiten:

• Die Spitze der Pyramide liegt nicht unbedingt exakt über Mittelpunkt der Grundfläche
• Die Länge der Basiskante der Pyramide ist nicht sauber bestimmbar (abgebrochene Steine, Erosion)
• Die Spitze ist nicht mehr vorhanden (abgetragen)

Das entspricht den Realitäten der bekannten großen Pyramiden. Die Höhenabweichung des Beobachtungspunktes, an dem α gemessen wird, muss genau berücksichtigt werden. Die Winkelmessung selbst kann in der Regel sehr präzise ausgeführt werden. Darüber hinaus muss definiert werden, von welchem Bodenniveau aus die Höhe der Pyramide gültig sein soll, also wo sie tatsächlich anfangen soll. Angenommen, die Basislänge inkl. der Strecke s ließe sich nicht genauer als auf 15 cm bestimmen. Dadurch würde bei einem Sehwinkel α von angenommenen 35° die Höhe um den Betrag von etwa 10 cm ungenau sein. Es fehlt jetzt aber noch die Bestimmung des Neigungswinkels β über die Seitenfläche. Eine hypothetische große Pyramide der Basislänge von 200 m und einer Höhe von 140 m hätte bei einer Ungenauigkeit der Höhenangabe von 10 cm eine Ungenauigkeit der Neigungswinkelangabe von etwa 1 Bogenminute (54°27'44" bei h= 140,0 m gegenüber 54°26'34" mit h = 139,9 m). Das gilt nun für Pyramiden, deren Spitze noch vorhanden sichtbar ist. Die Realität sieht aber anders aus. Die Höhenbestimung gibt also nicht die ursprüngliche Höhe wieder, sondern die Höhe der abgetragenen Pyramide.

Problem bei Extrapolation

Die Spitze muss also extrapoliert werden. Das folgende Bild zeigt schematisch das Problem. Sowohl die Seitenflächen als auch die Spitze sind durch Abriss und Verwitterung deutlich abgetragen:

Die Höhe h wäre daher gemäß der Formel aus der direkten Bestimmung des Neigungswinkels β zugänglich. Wie ersichtlich, ist die Bestimmung mit großen Fehlern behaftet. Eine Ausnahme bildet die Chephren-Pyramide, weil diese im oberen Teil noch die originalen Decksteine hat. Der Winkel β ist dadurch genauer bestimmbar als bei den anderen Pyramiden. Das erklärt die gute Übereinstimmung hinsichtlich des Neigungswinkels der verschiedenen Autoren.

Damit wird klar, dass bei realen Pyramiden weder die Höhe auf den Zentimeter noch die Neigungswinkel auf die Bogensekunde exakt angegeben werden können.

Verwandte Begriffe

Weitere geometrische Körper, die in engem Zusammenhang mit dem Begriff der Pyramide stehen, sind der Pyramidenstumpf (eine parallel zur Grundfläche „abgeschnittene“ Pyramide) und die Bipyramide, die aus zwei Pyramiden zusammengesetzt ist. Mit der Pyramide in der Architektur befasst sich der Artikel Pyramide (Bauwerk).