Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum $\mathcal S$ der schnell fallenden Funktionen (s.u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung S-Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein $\overline{S}$-Raum genannt.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum E heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum F und jedem stetigen linearen Operator $A \colon E\rightarrow F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass das Bild A(V) präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum F und jedem stetigen linearen Operator $A:E\rightarrow F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass $\overline{A(V)}$ kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung $U\subset E$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass man zu jedem $\epsilon > 0$ endlich viele Punkte $x_1,\ldots,x_n \in E$ mit $\textstyle V\subset \bigcup_{j=1}^n(x_j+\epsilon U)$ finden kann.

Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm p auf einem lokalkonvexen Raum E heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge (ζ_n)_n in $\mathbb K$ und eine gleichstetige Folge (f_n)_n im starken Dualraum $E\,'$ gibt, so dass für alle $x\in E$ die Ungleichung $\textstyle p(x) \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n f_n(x)|$ gilt. (Dabei heißt die Folge (f_n)_n gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm q auf E gibt mit $|f_n(x)| \le q(x)$ für alle $x\in E$ und $n\in {\mathbb N}$.)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung $\textstyle p(x) \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n f_n(x)| \le \sup_{n\in \mathbb N}|\zeta_n|\cdot q(x)$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

Beispiele

• Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
• Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
• Sei ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ der Raum aller Funktionen $f:{\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}$, für die alle Suprema $\textstyle p_{k,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in {\mathbb R}^n} |(1+|x|^2)^m D^\alpha f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};\,k,m\in{\mathbb N}_0\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
• Jede Folge $(a_n)_n\in \ell^1$ definiert durch die Festlegung $\textstyle (x_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^\infty a_nx_n$ ein lineares Funktional auf dem Folgenraum $\ell^\infty$ der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit $\ell^1$ zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie $\tau(\ell^\infty,\ell^1)$. Der lokalkonvexe Raum $(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))$ ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

Eigenschaften

• Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
• Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge I gibt, so dass E topologisch isomorph zu einem Unterraum von $(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))^I$ ist. In diesem Sinne ist $(\ell^\infty,\tau(\ell^\infty,\ell^1))$ ein universeller Schwartz-Raum.

Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist p eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum E, so ist $N_p := \{x\in E; p(x)=0\}$ ein abgeschlossener Unterraum von E und durch $\|x+N_p\|_p := p(x)$ wird eine Norm auf dem Faktorraum E_p: = E / N_p erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit B_p bezeichnet. Ist q eine weitere stetige Halbnorm mit $p \le q$, so definiert $x+N_q\mapsto x+N_p$ einen stetigen linearen Operator $E_q \rightarrow E_p$, der sich stetig zu einem linearen Operator $\kappa_{qp}:B_q\rightarrow B_p$ fortsetzen lässt. Die B_p heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren κ_qp heißen kanonische Abbildungen von E. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm p eine weitere stetige Halbnorm $q \ge p$ gibt, so dass die kanonische Abbildung $\kappa_{qp}:B_q\rightarrow B_p$ ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces. Springer, 1971.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. Marcel Dekker Ltd., 1992.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992. ISBN 3-528-07262-8