Rang einer Matrix

Der Rang ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu. Übliche Schreibweisen sind rang(f) und rg(f). Selten werden auch die englischen Schreibweisen rank(f) und rk(f) benutzt.

Bei einer linearen Abbildung ist der Rang als Dimension des Bildes im(f) dieser Abbildung definiert:

$\mathrm{rang}(f) = \dim (\mathrm{im}(f))$

Zu einer Matrix existiert ein Zeilenrang und ein Spaltenrang. Der Zeilenrang ist dabei die Dimension des von den Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums und entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Entsprechendes gilt für den Spaltenrang. Man kann zeigen, dass Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix identisch sind und spricht deshalb vom (wohldefinierten) Rang der Matrix.

Fasst man eine Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung auf, so besitzen die Matrix und die entsprechende lineare Abbildung den gleichen Rang.

Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle. ^[1]

Berechnung

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 10 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathrm{rang}(A) = 3$

• $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathrm{rang}(B) = 2$

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

Quadratische Matrizen

Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und wird reguläre Matrix genannt. Diese Eigenschaft lässt sich anhand ihrer Determinante feststellen. Eine Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist.

Eigenschaften

• Die einzige Matrix mit Rang 0 ist die Nullmatrix.
• Für den Rang einer $m \times n$-Matrix A gilt:

  $\mathrm{rang}(A) \leq \min \{m,n\}$

• Die Transponierte A^T einer Matrix A hat den gleichen Rang wie A.
• Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: rang(A) = n
• Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: rang(A) = m
• Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix quadratisch ist und vollen Rang hat: rang(A) = m = n
• Rangsatz (Zusammenhang zwischen dem Rang und dem Defekt einer linearen Abbildung):

  $\dim V = \mathrm{rang}(f) + \mathrm{def}(f)$

• Für zwei Matrizen mit jeweils passenden Größen gilt:

  $\mathrm{rang}(A+B) \leq \mathrm{rang}(A) + \mathrm{rang}(B)$

  $\mathrm{rang}(A \cdot B) \leq \mathrm{min}\left\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B) \right\}$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.

Einzelnachweise

1. ↑ Falko Lorenz: Lineare Algebra I. 3. Auflage. 1992, ISBN 3-411-15193-5