- Regel von de L'Hospital
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Mit der Regel von L’Hospital (gesprochen [lopi'tal], auch L’Hôpital geschrieben) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen 0 konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mit Hilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen.
Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661–1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann Bernoulli übernommen.
Inhaltsverzeichnis
Anwendung
Die Regel von L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.
Alle Anwendungen der Regel lassen sich auf die Aufgabe zurückführen, den Grenzwert zu bestimmen, wenn sowohl als auch gilt, ist also ein unbestimmter Ausdruck des Typs .
Die Regel von L’Hospital besagt dann, dass gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. f' und g' bezeichnen dabei die ersten Ableitungen der Funktionen f und g.
Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich häufig einfach berechnen. Führt auch sie wieder auf einen unbestimmten Ausdruck, so kann man darauf erneut die Regel von L’Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich vielen Schritten zum Ziel führt. Starres Festhalten an der Regel von L’Hospital kann aber auch zu längeren und schwierigeren Rechnungen führen.
Die Umkehrung der Regel gilt nicht: Daraus, dass der Grenzwert existiert, folgt nicht zwingend, dass auch existiert.
Präzise Formulierung
Sei I = ]a,b[ ein nichtleeres offenes Intervall und seien differenzierbare Funktionen, die für (x geht von unten gegen b) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren. Wenn für alle gilt sowie für gegen einen Wert c konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch . Analoges gilt, wenn man überall durch (x geht von oben gegen a) ersetzt.
Anschauliche Erklärung
Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen in der Nähe einer Stelle x0 durch ihre Tangenten annähern lassen.
Ist , so lauten die Tangentengleichungen und . Ihr Quotient ist also eine Näherung für .
Anwendungsbeispiele
Grenzübergang bei 0
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Dazu setzt man und . Es gilt
- und .
Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt
- für .
Somit ist die Regel von L’Hospital anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von mit Grenzwert 0.
Grenzübergang im Unendlichen
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Man setzt und . Sowohl als auch ist bestimmt divergent.
Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt
- für ,
d. h., ist bestimmt divergent. Daher darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Aus ihr folgt die bestimmte Divergenz
- .
Warnbeispiele
Beachtung der Voraussetzungen
Sei und . Für liegt der Fall vor.
Die Regel von L’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn ist für unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Regel von L’Hospital konvergiert für . Es ist nämlich .
Landau-Kalkül
Wenn man den Grenzwert berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um x0 kennt, ist es oft einfacher, den Grenzwert über den -Kalkül zu bestimmen, als mehrfach die Regel von L’Hospital anzuwenden.
So gilt beispielsweise für .
Literatur
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.
Weblinks
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