Regelfläche

Regelfläche

Eine Regelfläche ist in der Mathematik eine (zweidimensionale) Fläche, die auf bestimmte Weise aus Geraden zusammengesetzt ist. Der Begriff „Regelfläche“ entstand aus einer Falschübersetzung des englischen Begriffs „ruled surface“: So bedeutet „rule“ nicht nur „Regel“, sondern auch „linieren“.

Im dreidimensionalen anschaulichen euklidischen Vektorraum sind abwickelbare Flächen auch stets Regelflächen, sonst gilt dies nicht.

Definition

Eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt Regelfläche, wenn sie die Vereinigung einer einparametrigen Geradenschar ist. Die Geraden dieser Schar heißen die Erzeugenden der Regelfläche. Die Tangentialebenen in den Punkten einer Erzeugenden e enthalten stets diese Erzeugende, und für sie gilt genau eine der beiden Aussagen (aber nicht beide Aussagen zugleich):

  1. Die Tangentialebenen in allen Punkten von e sind identisch. Diese Erzeugende heißt dann Torsale.
  1. Durchläuft ein (Berühr-)Punkt B die Erzeugende e, so dreht sich die zugehörige Tangentialebene um e, und alle Ebenen, die die Gerade e enthalten, kommen bis auf eine Ausnahmeebene alle als Tangentialebene der Regelfläche in einem Punkt von e vor.

Jede Erzeugende einer Regelfläche ist eine Asymptotenlinie der Regelfläche.

Beispiele

Hyperbolisches Paraboloid
  1. Die Ebene
  2. Mantelfläche des Zylinders und Kegels
  3. Die Einhüllende einer einparametrigen Ebenenschar
  4. Vereinigung der Tangenten einer Raumkurve; die zugehörige Raumkurve ist die Gratlinie oder Rückkehrkante; sie ähnelt einer Messerschneide.
  5. Hyperbolisches Paraboloid
  6. Einschaliges Hyperboloid (In der Landschaft manchmal zu sehen als Kühlturm eines Kraftwerks)
  7. Oloid

Sind alle Erzeugenden torsal, so wird die Regelfläche Torse genannt. Die Gesamtheit der Torsen besteht aus Tangentenflächen, Kegeln, Zylindern und Ebenen, d. h. jede Torse ist nach geeigneter Zerlegung aus diesen Flächenstücken zusammengesetzt. Sie sind die einzigen Flächen, die in eine Ebene abgewickelt werden können.

Die ersten Beispiele haben die Gaußsche Krümmung 0 und sind daher in die Ebene abwickelbar. Hyperbolisches Paraboloid und Drehhyperboloid haben überall negative Gaußsche Krümmung und werden windschiefe Regelflächen genannt. Es sind die beiden einfachsten windschiefen Regelflächen.

Eigenschaften

Man kann je zwei abwickelbare Regelflächen längs einer Geraden g bzw. h abschneiden und sie so zusammensetzen, dass aus g und h eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Fläche mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird.

Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelfläche ist die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar. Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar, wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein, ist es im allgemeinen aber nicht.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Regelfläche — Regelfläche,   geradlinige Fläche, eine Fläche x (u, v) ⊂ ℝ3, die durch die Bewegung einer Geraden längs einer Kurve im Raum erzeugt wird. Analytisch lassen sich Regelflächen durch die Vektorgleichung x (u, v) …   Universal-Lexikon

  • Regelfläche — Regelfläche, s. Geradlinige Fläche …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Regelfläche — reguliavimo sritis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. control area; control range vok. Regelbereich, m; Regelfläche, f; Regelungsgebiet, n rus. диапазон регулирования, m; область регулирования, f pranc. plage de réglage, f; étendue… …   Automatikos terminų žodynas

  • Chaslessches Prinzip — der Umkehrung der Bewegung. Bei einer bestimmten allgemeinen Bewegung eines Körpers S in bezug auf einen ruhenden Körper Σ gleitet und rollt eine mit dem bewegten Körper S verbunden gedachte Regelfläche P auf einer mit dem ruhenden Körper… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Flächen [1] — Flächen, zweidimensionale Gebilde, entweder eben oder krumm (vgl. Flächentheorie). Geometrische Eigenschaften der Flächen. Flächen, krumme. Eine krumme Fläche ist der geometrische Ort aller Lagen einer nach einem bestimmten Gesetze bewegten Kurve …   Lexikon der gesamten Technik

  • Kernbogen — Kernbogen, eine in der äußeren Mauerflucht als halbkreisförmiger Mauerbogen erscheinende, in Hausteinen hergestellte Tor , Tür oder Fensterüberwölbung, bei der die hinter dem Anschlage (s.d.) befindliche Laibungsfläche je nach den zu erfüllenden… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Fläche (Mathematik) — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses… …   Deutsch Wikipedia

  • Oloid — Das Oloid ist ein geometrischer Körper, der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz entdeckt wurde. Es kann definiert werden als die konvexe Hülle zweier gleichgroßer Kreise, die bis an die Mittelpunkte senkrecht ineinander geschoben… …   Deutsch Wikipedia

  • Axoide — Axoide. Die Bewegung eines Körpers aus einer Lage in eine andre kann, wie die Kinematik (s.d.) lehrt, stets durch Drehung um eine bestimmte feste Gerade p und Verschiebung längs derselben, bezw. durch eine Schraubenbewegung um diese Gerade p als… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Abwickelbar — Eine abwickelbare Fläche bezeichnet aus der Anschauung heraus in der (Differential)geometrie, der Kartografie und der Topologie eine zweidimensionale Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung in die euklidische Ebene transformieren lässt. D. h …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”