Gaußsche Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ($\mathbb{R}^3$), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im $\mathbb{R}^3$ und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung K der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k₁ und k₂.

$K \, = \, k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_2}$

Dabei sind r₁ und r₂ die beiden Hauptkrümmungsradien.

Die gaußsche Krümmung ist positiv (K > 0), wenn die Mittelpunkte beider Hauptkrümmungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln oder ganz allgemein in sogen. elliptischen Punkten^[1]. Liegen die Mittelpunkte der Hauptkrümmungen dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche oder ganz allgemein in sogen. hyperbolischen Punkten, ist die gaußsche Krümmung dort negativ (K < 0). Möglich ist aber auch, dass die gaußsche Krümmung gleich Null wird, entweder dadurch, dass nur eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet wie in sogen. parabolischen Punkten, z.B. auf einer Zylinderoberfläche, oder aber dadurch, dass die Fläche überhaupt ungekrümmt ist, also beide Hauptkrümmungen gleich Null werden.

Beispiele

• Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 / r².

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

• Ist X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der (u,v)−Ebene, so berechnet sich die gaußsche Krümmung durch die Formel

$K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{{(1+f_u^2+f_v^2)}^{2}}$,

wobei die Indizes partielle Ableitungen bezeichnen.

Eigenschaften

• Sind E, F, G bzw. L, M, N die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:

$K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$

• Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:

• Formel von Brioschi:

$K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\ \frac{1}{2}E_v & E & F\\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)$

Dabei sind E, F und G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen E_u, F_uv usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u und v, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.

• Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:

$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}}\left( \left(\frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_v +\left(\frac{G_u-F_v}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_u\right) -\frac{1}{4 \left(EG-F^2\right)^2}\begin{vmatrix} E & E_u & E_v \\ F & F_u & F_v \\ G & G_u & G_v \end{vmatrix}$

• Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung (F = 0) reduziert sich diese Formel auf

$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left( \left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v +\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u \right)$

• Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt 0 < E = G und F = 0, dann schreibt sich

$K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E$

mit dem Laplaceoperator

$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}$.

• Einen Zusammenhang zwischen der Gaußschen Krümmung und der geodätischen Krümmung vermittelt der Satz von Gauß-Bonnet.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7

1. ↑ [W.Gellert, H.Küstner, M.Hellwich, H.Kästner]; Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.594.