- Kreisteilungskörper
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Kreisteilungskörper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.
- Definition: Es sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann ist der n-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung
von
, die durch Adjunktion der Menge μn aller n-ten Einheitswurzeln entsteht.
Eigenschaften
- Ist ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von ζn das n-te Kreisteilungspolynom Φn, deshalb ist
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- Insbesondere ist der Körpergrad
mit der eulerschen φ-Funktion.
- Zwei Kreisteilungskörper
und
mit n < m sind genau dann gleich, wenn n ungerade ist und m = 2n gilt.
- Die Adjunktion der m-ten Einheitswurzeln zu
ergibt
mit N = kgV(m,n).
- Die Erweiterung
ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu
ist ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element
der durch
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- definierte Automorphismus von
- Der Ganzheitsring von
ist
mit einer beliebigen primitiven n-ten Einheitswurzel ζn.
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- Insbesondere ist der Ganzheitsring von
gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von
ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.
- Insbesondere ist der Ganzheitsring von
- Eine Primzahl
ist genau dann verzweigt in
wenn p ein Teiler von n ist. p ist genau dann voll zerlegt, wenn
gilt.
- Ist
eine Primzahlpotenz und ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist
in
rein verzweigt, und das Primideal über
ist ein Hauptideal, das von 1 − ζn erzeugt wird:
Satz von Kronecker-Weber
Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von
entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.
Literatur
- Serge Lang Cyclotomic Fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2. Auflage 1990
- Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1982, 2. Auflage 1996
- Definition: Es sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann ist der n-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung
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