- Kreisteilungskörper
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Kreisteilungskörper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.
- Definition: Es sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann ist der n-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge μn aller n-ten Einheitswurzeln entsteht.
Eigenschaften
- Ist ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von ζn das n-te Kreisteilungspolynom Φn, deshalb ist
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- Insbesondere ist der Körpergrad mit der eulerschen φ-Funktion.
- Zwei Kreisteilungskörper und mit n < m sind genau dann gleich, wenn n ungerade ist und m = 2n gilt.
- Die Adjunktion der m-ten Einheitswurzeln zu ergibt mit N = kgV(m,n).
- Die Erweiterung ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu ist ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element der durch
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- definierte Automorphismus von
- Der Ganzheitsring von ist mit einer beliebigen primitiven n-ten Einheitswurzel ζn.
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- Insbesondere ist der Ganzheitsring von gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.
- Eine Primzahl ist genau dann verzweigt in wenn p ein Teiler von n ist. p ist genau dann voll zerlegt, wenn gilt.
- Ist eine Primzahlpotenz und ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist in rein verzweigt, und das Primideal über ist ein Hauptideal, das von 1 − ζn erzeugt wird:
Satz von Kronecker-Weber
Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.
Literatur
- Serge Lang Cyclotomic Fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2. Auflage 1990
- Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1982, 2. Auflage 1996
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