Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert^[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition

Sei $(X, +, \cdot)$ ein $\R$-Vektorraum und $(X,\leq)$ eine teilweise geordnete Menge.

Dann heißt $(X,+,\cdot,\leq)$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. Für alle $f,g,h\in X$ gilt: $f\leq g \Rightarrow f+h\leq g+h$.
2. Für alle $f,g\in X$ gilt: $0\leq a\in \R$ und $f\leq g \Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g$.
3. $(X,\leq)$ ist ein Verband.

Anmerkungen

• 1. und 2. bedeuten $(X,+,\cdot,\leq)$ ist ein geordneter Vektorraum.
• Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass $\leq$ sich sowohl auf $\R$, als auch auf X bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
• 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung $0\leq a$ und $\mathbf{0}\leq f \Rightarrow \mathbf{0} \leq a\cdot f$ ersetzen.
• Bezeichnen $\land, \lor$ die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass $\land, \lor$ stärker binden, als $+, \cdot$ (Klammerregel).

Erste Eigenschaften

Für $f,g,h\in X$ und $0\leq a\in \R$ gelten folgende Rechenregeln:

• $(f+h)\lor(g+h)=(f\lor g) +h$ und $(f+h)\land(g+h)=(f\land g) +h$
• $(af)\lor (ag)=a(f\lor g)$ und $(af)\land (ag)=a(f\land g)$
• $(-f)\lor (-g)=-(f\land g)$ und $(-f)\land (-g)=-(f\lor g)$
• Sei $|f|:=f\lor(-f)$ für $f\in X$.

Dann gilt $f\lor g=\tfrac{1}{2} (f+g+|f-g|)$ und $f\land g=\tfrac{1}{2} (f+g-|f-g|)$.

• $(f\lor g)+(f\land g)=f+g$ und $(f\lor g)-(f\land g)=|f-g|$
• $(f\lor g)\land h = (f\land h) \lor (g \land h)$ und $(f\land g)\lor h = (f\lor h) \land (g \lor h)$

Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele

• Die reellen Zahlen $\R$ mit der üblichen Anordnung $\leq$ bilden einen Riesz-Raum.
• Der $\R^n$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Zahlenfolgen $\R^\N$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Nullfolgen c₀ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Für $1\leq p \le \infty$ ist l_p mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
• Die Menge der beschränkten reellen Folgen $l_\infty$ mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetigen Funktionen $\mathcal{C}[a,b]$ auf einem Intervall [a,b] bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen $\mathcal{C}^1[a,b]$ auf einem Intervall [a,b] bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodym und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Einzelnachweise

1. ↑ * Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli (1930) pp. 143–148

Literatur

• Luxembrg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
• V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.