Satz von Cochran

In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an U₁, ..., U_n seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

$\sum_{i=1}^n U_i^2=Q_1+\cdots + Q_k,$

wobei jedes Q_i die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der Us darstellt. Ferner nimmt man an, dass

$r_1+\cdots +r_k=n,$

wobei r_i der Rang von Q_i ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die Q_i unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit r_i Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel

Falls X₁, ..., X_n unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind, dann gilt

$U_i=(X_i-\mu)/\sigma \;$

ist standardnormalverteilt für jedes i.

Jetzt kann man folgendes schreiben

$\sum_{i=1}^{n} U_i^2=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 + n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2$

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit σ multiplizieren und beachten, dass gilt

$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2= \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X}+\overline{X}-\mu)^2$

und erweitert, um zu zeigen

$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2+\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-\mu)^2+ 2\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu).$

Der dritte Term ist null, weil dies gleich einer Konstante mal

$\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}-X_i),$

ist, und der zweite Term ist besteht nur aus n identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch σ², dann erhält man:

$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2= \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 +n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 =Q_1+Q_2.$

Jetzt ist der Rang von Q₂ gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von Q₁ ist gleich n − 1, und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass Q₁ und Q₂ unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 und 1 Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

$(\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1.$

Um die Varianz σ² zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

$\widehat{\sigma}^2= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\overline{X}\right)^2.$

Der Satz von Cochran zeigt, dass

$\widehat{\sigma}^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1},$

was zeigt, dass der Erwartungswert von $\widehat{\sigma}^2$ von σ² (n − 1)/n ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz σ²; Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von σ², und weil sie unabhängig sind, erhält man

$\frac{\left(\overline{X}-\mu\right)^2} {\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}\sim F_{1,n}$,

wobei F_1,n die F-Verteilung mit 1 und n Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Student's t-Verteilung).