Satz von Clarkson

Gleichmäßig konvexe Räume sind eine in der Mathematik betrachtete spezielle Klasse normierter Räume. Diese Räume wurden 1936 von James. A. Clarkson mittels einer geometrischen Eigenschaft der Einheitskugel eingeführt. Die gleichmäßig konvexen Banachräume sind reflexiv und haben eine für die Approximationstheorie wichtige Eigenschaft.

Motivation und Definition

Da die Einheitskugel $\{x\in E; \|x\|\le 1\}$ eines normierten Raums E konvex ist, liegt der Mittelpunkt $\frac{1}{2}(x+y)$ zwischen zwei Vektoren x und y der Einheitskugel wieder in der Einheitskugel. Wir untersuchen den Abstand eines solchen Mittelpunktes vom Rand der Einheitskugel.

Betrachtet man auf dem ${\mathbb R}^2$ die euklidische Norm, so ist die Einheitskugel der Einheitskreis in der Ebene. Bildet man den Mittelpunkt zweier Randpunkte, so liegt dieser Mittelpunkt umso weiter im Inneren des Kreises, je weiter die beiden Randpunkte voneinander entfernt sind.

Betrachtet man hingegen auf dem ${\mathbb R}^2$ die durch $\|(x,y)\|_1:=|x|+|y|$ definierte Norm, so ist die 'Einheitskugel' ein Quadrat. Es gilt für e₁: = (1,0),e₂: = (0,1) offenbar $\|e_1\|_1=1$, $\|e_2\|_1=1$, $\|\frac{1}{2}(e_1+e_2)\|_1=1$ und $\|e_1-e_2\|=2$. Obwohl die beiden Randpunkte e₁ und e₂ sehr weit voneinander entfernt sind, liegt deren Mittelpunkt dennoch auf dem Rand der Einheitskugel.

Es ist also eine besondere geometrische Eigenschaft, dass zwei Vektoren der Einheitskugel einander nahe sein müssen, wenn deren Mittelpunkt nahe am Rand liegt. Daher definiert man:

Ein normierter Raum E heißt gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass folgendes gilt: Sind $x,y\in E$ mit $\|x\|\le 1$, $\|y\| \le 1$ und $\|\frac{1}{2}(x+y)\| > 1-\delta$, so folgt $\|x-y\| < \varepsilon$.

Dies ist eine Eigenschaft der Norm. Geht man zu einer äquivalenten Norm über, so kann diese Eigenschaft verlorengehen, wie die beiden eingangs betrachteten Beispiele zeigen.

Beispiele

• Leicht zeigt man mittels der Parallelogrammgleichung, dass Innenprodukträume gleichmäßig konvex sind.

• J. A. Clarkson hat diese Eigenschaft für die Banachräume L^p[0,1] , $1<p<\infty$, nachgewiesen (Satz von Clarkson). Diese Aussage ist 1950 von E. J. McShane wesentlich verallgemeinert worden. Ist E ein gleichmäßig konvexer Raum, μ ein beliebiges positives Maß, $1<p<\infty$, so ist auch L^p(μ,E) gleichmäßig konvex. Dabei ist L^p(μ,E) der Banachraum der Äquivalenzklassen messbarer Funktionen f mit Werten in E, so dass $\int \|f(\cdot)\|^p d\mu < \infty$.

• 1967 hat C. A. McCarthy die gleichmäßige Konvexität für die Schatten-Klassen mit $1<p<\infty$ nachgewiesen.

Satz von Milman

David Milman hat eine weitere wichtige Eigenschaft gleichmäßig konvexer Räume bewiesen:

Satz von Milman: Gleichmäßig konvexe Banachräume sind reflexiv.

Dieses Resultat ist unabhängig von Milman auch von Billy James Pettis (1913–1979) gefunden worden, weshalb man manchmal auch vom Satz von Milman-Pettis spricht. Die Klasse der gleichmäßig konvexen Räume ist echt kleiner als die Klasse der reflexiven Räume, denn es gibt reflexive Banachräume, die nicht isomorph zu gleichmäßig konvexen Räumen sind.

Man kann sogar zeigen, dass gleichmäßig konvexe Banachräume die Banach-Saks-Eigenschaft haben (ein Satz von S. Kakutani), und dass Banachräume mit Banach-Saks-Eigenschaft reflexiv sind (ein Satz von T. Nishiura and D. Waterman).

Strikte Konvexität

Ein normierter Raum E heißt strikt konvex (oder auch strikt normiert), wenn aus $\|x\| \le 1, \|y\| \le 1$ und $x\not= y$ stets $\frac{1}{2}\|x+y\| < 1$ folgt. Man kann leicht zeigen, dass gleichmäßig konvexe Räume strikt konvex sind. Man hat daher folgende Inklusionen von Klassen normierter Räume:

Innenprodukträume $\subset$ Gleichmäßig konvexe Räume $\subset$ Strikt konvexe Räume $\subset$ Normierte Räume.

Der Approximationssatz

Die folgenden Aussagen, die auch als Approximationssatz bezeichnet werden, zeigen die Bedeutung der gleichmäßig konvexen Räume für die Approximationstheorie. Viele Approximationsprobleme lassen sich so umformulieren, dass in einer konvexen Menge (z.B. in einem Unterraum) ein Vektor zu finden ist, der zu einem gegebenen Vektor kürzesten Abstand hat. Es gelten folgende Aussagen für einen reellen normierten Raum E, $x\in E$ und eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge $Y\subset E$:

• Eindeutigkeit: Ist E strikt konvex, so gibt es höchstens ein $y_0\in Y$ mit $\|x-y_0\| = \inf_{y\in Y}\|x-y\|$.
• Existenz: Ist E ein gleichmäßig konvexer Banachraum, so gibt es ein (nach obigem eindeutig bestimmtes) $y_0\in Y$ mit $\|x-y_0\| = \inf_{y\in Y}\|x-y\|$.

Konvexitätsmodul

Man setzt für eine Zahl $0 \le \alpha \le 2$

$\delta_E(\alpha) := \inf\{1-\frac{1}{2}\|x+y\|;\,x,y\in E, \|x\|\le 1, \|y\|\le 1, \|x-y\|=\alpha\}$

und nennt die dadurch definierte Funktion $\delta_E:[0,2]\rightarrow [0,1]$ den Konvexitätsmodul von E. Für gleichmäßig konvexe Räume gilt definitionsgemäß δ_E(α) > 0 für alle α > 0, und man kann zeigen, dass der Konvexitätsmodul eine monotone Funktion ist, sogar die Abbildung $\alpha \mapsto \delta_E(\alpha)/\alpha$ ist monoton. Ein Satz von M. Kadets stellt eine notwendige Bedingung für die unbedingte Konvergenz von Reihen in gleichmäßig konvexen Räumen dar:

Ist (x_n)_n eine Folge in einem gleichmäßig konvexen Raum E mit $\|x_n\|\le 2$ für alle $n\in {\mathbb N}$ und ist die Reihe $\sum_{n\in \mathbb N} x_n$ unbedingt konvergent, so gilt $\sum_{n\in \mathbb N}\delta_E(\|x_n\|) < \infty$

Literatur

• James A. Clarkson: Uniformly convex spaces. Transactions of the American Mathematical Society, Band 40, 1936, Seite 396–414.
• Mahlon M. Day: Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces. Bulletin of the American Mathematical Society, Band 47, Nr. 4, 1941, Seiten 313-317.
• D. Milman: On some criteria for the regularity of spaces of type (B). Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences de l'URSS, Band 20, 1938, Seiten 243–246.
• B. J. Pettis: A proof that every uniformly convex space is reflexive. Duke Math. J., Band 5, 1939, Seiten 249–253.
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, ISBN 3-860-25429-4.
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.