Minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer

Ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer (engl. BLUE für Best Linear Unbiased Estimator) ist ein linearer erwartungstreuer Schätzer $\hat{T}$ minimaler Varianz.

Mathematische Definition

Für jeden erwartungstreuen Schätzer der Form

$T(y) = Wy \;$

für eine Stichprobenvariable $y\;$ eines Stichprobenraums $\mathbb{H}$

$y \in \mathbb{H}$

und eine lineare Abbildung mit Matrix

$W \in \mathbb{R}^{(k+1) \times n}$

gilt komponentenweise die Ungleichung

$V_\gamma(\hat{T}_j) \leq V_\gamma(T_j)\, , \, j \in \mathbb{N}_n$.

Anwendung

In Rahmen der linearen Regression wird für die Regressionskoeffizienten β_i ein linearer Schätzer der Form

$B_i = \sum_{j=1}^n w_{ij}(x_1,\ldots,x_n) Y_j$

angegeben, wobei die Gewichtsfunktionen w_ij nur von den (fixen) Beobachtungswerten $x_1,\ldots,x_n$ abhängen,

Aus dem Satz von Gauß-Markow folgt, dass dieser Schätzer ein BLUE-Schätzer ist, wenn

• der Erwartungswert der Fehler Null ist,
• die Fehler unkorreliert sind und
• die Varianz der Fehler konstant ist (Homoskedastizität).

Insbesondere spielt der Verteilungstyp der Fehler, z.B. Normalverteilung der Fehler, keine Rolle und es gibt keinen anderen Schätzer für die Regressionskoeffizienten, der eine kleinere Varianz aufweist.

Siehe auch

• Satz von Gauß-Markow
• Kleinste-Quadrate-Schätzer