Satz von Gauß-Markow

Der Satz von Gauß-Markow ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Statistik. Er ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt.

In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer in einem linearen Modell, wenn die zufälligen Fehler (nicht-erklärten Abweichungen):

• unkorreliert sind (keine Autokorrelation),
• einen Erwartungswert von Null haben und
• die gleiche Varianz haben (Homoskedastizität).

Mathematisch kann dies auf folgende Weise wiedergegeben werden: Voraussetzung ist, dass man ein Lineares Modell in der Form

$\underline Y = \underline X \underline \beta + \underline \varepsilon$

vorliegen hat, wobei $\underline Y$ eine n-dimensionale und $\underline \beta$ eine p-dimensionale Zufallsvariable sei (siehe Regressionsanalyse). Hierbei nimmt man von der Datenmatrix $\underline X \in \mathbb{R}^{n \times p}$ an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt es gilt $\mbox{Rang}(\underline{X})=p \;$ bzw. $\det(\underline{X}^T \underline{X}) > 0$. Für den Erwartungswert der Fehler nimmt man an, dass $E(\underline{\varepsilon})=0 \;$ ist. Ferner erwartet man für die Varianz der Fehler, dass $\mbox{Cov}(\underline{\varepsilon})=\sigma^2 I_n$ gilt.

Damit erhält man:

1. $\underline b = (\underline {X}^T \underline X )^{-1} \underline {X}^T \underline y$ ist BLUE für $\underline \beta$,
2. $\mbox{Cov}(\underline{b})=\sigma^2 (\underline{X}^T \underline{X})^{-1}$,
3. $s^2 = \frac{1}{(n-p)} SS_\mathrm{Res}\,$ ist unverzerrter Schätzer für σ²,

wobei $SS_\mathrm{Res} \,$ die Quadratsumme der Residuen (engl. Residual Sum of Squares) bezeichnet.

Weblinks

• Carolo Friderico Gauss: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1821, 1823) Göttinger Digitalisierungszentrum
• A. A. Markoff: Wahrscheinlichkeitsrechnung (2. Auflage, 1912) Cornell University Library siehe insb. Kapitel 7
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (G) zur Herkunft des Namens
• Skriptum eines Mitarbeiters des Lehrstuhls für Statistik und Ökonometrie der Universität Erlangen (PDF-Datei; 503 kB)