Satz von Poynting

Der Satz von Poynting (auch Poyntingtheorem genannt) stellt einen Erhaltungssatz in der Elektrodynamik dar. Damit wird der Energieerhaltungssatz auf elektromagnetische Felder verallgemeinert. Seine Formulierung wird dem britischen Physiker John Henry Poynting zugeschrieben. Stark vereinfacht trägt er in sich die Aussage, dass ein elektromagnetisches Feld Arbeit verrichten kann, wenn es dabei „schwächer“ wird. Mathematisch kann er, wie auch die Maxwellschen Gleichungen, sowohl in einer differenziellen als auch in einer integralen Schreibweise angegeben werden. In der integralen Form lautet er:

$\int_V \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}\mathrm{d}V=-\int_V \left( \nabla \cdot \mathbf{S}+\frac{\partial u}{\partial t} \right) \mathrm{d}V$

Wobei:

$u=\frac{1}{2}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) = \frac{1}{2}(\varepsilon_0\mathbf{E}^2 + \mu_0\mathbf{H}^2)$ elektromagnetische Energiedichte der Felder im Vakuum.

$\mathbf{S}=\mathbf{E} \times \mathbf{H}$ Poynting-Vektor

$\mathbf{j}=\varrho \mathbf{v}$ Stromdichte

$\mathbf{E},\mathbf{H}$ elektrische und magnetische Feldstärken

Er besagt, dass die Leistung eines Feldes $\int_V \vec{j} \cdot \vec{E} \,\mathrm{d}V$ gleich dem Austritt des Energiestromes $\int_V \nabla \cdot \vec{S} \,\mathrm{d}V$ und der Abnahme der Feldenergie $\int_V \frac{\partial u}{\partial t} \,\mathrm{d}V$ ist. Damit ist er vergleichbar mit dem Energieerhaltungssatz. Das kann man sich klar machen, wenn man den Gaußschen Satz in der Integralform anwendet:

$\int_V \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}\mathrm{d}V=-\int_{\partial V} \mathbf{S} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}-\int_V \frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{d}V$

Das Oberflächenintegral entspricht dann dem Fluss der Leistungsdichte durch die betrachtete Oberfläche des Volumens V.

Da nur die Divergenz von $\vec{S}$ relevant ist, könnte prinzipiell auch eine Rotation einer beliebigen Funktion zu ihm hinzugefügt werden, da sie unter der Einwirkung der Divergenz verschwindet. Die physikalische Interpretation von $\vec{S'}=\vec{S}+\nabla \times \vec{f}$ als Leistungsfluss ist dann allerdings nicht mehr möglich. Es gibt also formal unendlich viele vektorwertige Funktionen, die den Satz von Poynting erfüllen, aber nur $\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}$ lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen gewinnen und ist damit physikalisch sinnvoll.

Herleitung

Ausgangspunkt ist die Arbeit, die ein elektromagnetisches Feld an Ladungsträgern pro Zeit und Volumen verrichtet:

$\frac{\mathrm{d}^4 W}{\mathrm{d}V\mathrm{d}t}=\frac{P}{V}=q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}=\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$

Es bleibt anzumerken, dass der magnetische Teil des Feldes keine Arbeit verrichet, da die Lorentzkraft senkrecht zu Bewegungsrichtung der Ladung wirkt. Nun gilt aber das Durchflutungsgesetz: $\mathbf{j}=\nabla \times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$. Was oben eingesetzt auf

$\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}=\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

führt. Zieht man daneben noch die Rechenregel für die Divergenz

$\nabla \cdot (\mathbf{E}\times\mathbf{H})=\mathbf{H} \cdot (\nabla\times\mathbf{E})-\mathbf{E} \cdot (\nabla\times\mathbf{H})$

heran, so ergibt sich

$\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}=\mathbf{H} \cdot (\nabla\times\mathbf{E})-\nabla \cdot (\mathbf{E}\times\mathbf{H})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$.

Die Rotation des elektrischen Feldes kann schließlich über das Induktionsgesetz $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ ausgedrückt werden, womit wir bei

$\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}=-\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-\nabla \cdot (\mathbf{E}\times\mathbf{H})-\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

ankämen. Hier bleibt es nur noch mit Hilfe der Definition des Poynting-Vektors und der Energiedichte die Gleichung zusammenzufassen, wozu noch die folgenden Identitäten benötigt werden:

$\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} \qquad \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$

und

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{2}\varepsilon_0\mathbf{E}^2+\frac{1}{2}\mu_0\mathbf{H}^2 \right)=\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

Womit schließlich die differenzielle Form das Satzes gerechtfertigt wäre.

$\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}=-\nabla \cdot \mathbf{S}-\frac{\partial u}{\partial t}$

Beispiel: Ohm'scher Widerstand

Hinweis: In diesem Beispiel wird das CGS-Einheitensystem verwendet.

Wir betrachten einen langen zylindrischen Leiter mit Radius R und Länge l. Der Leiter wird vom zeitlich konstanten Strom I durchflossen, wobei über die Länge des Leiters die Spannung U abfällt. Der Leiter ist also ein Ohm'scher Widerstand. Hier sei angenommen, dass der spez. Widerstand überall gleich ist.

Für das elektrische Feld erhalten wir $\vec E=\frac{U}{l} \vec e_z$.

Die magnetische Flussdichte außerhalb des Leiters berechnen wir mit dem Ampèreschen Gesetz $\vec\nabla\times \vec B = \frac{4 \pi}{c} \vec j$, in integraler Form: $\oint\limits_A \left(\vec\nabla\times\vec B\right) \cdot d\vec A = \frac{4\pi}{c}\int\limits_A \vec j \cdot \mathrm d \vec A$. Der Rand der Oberfläche A sei ein Kreis mit Radius r (mit r > R, der ganze Zylinder ist umschlossen), so dass mit dem Satz von Stokes für $|\vec B|$ sofort folgt:

$B(r) = \frac{2 I}{c r}$

Die Feldlinien umlaufen den Leiter nach der Korkenzieherregel.

Der Poynting-Vektor lautet $\vec S = \frac{c}{4\pi} \left(\vec E \times \vec B\right) = -\frac{U \cdot I}{2\pi r l} \vec e_r$. Er zeigt in den Leiter hinein.

Wir legen eine geschlossene Fläche rund um das gesamte Leiterstück. Das Oberflächenintegral über die Fläche, $\oint \vec S \cdot \mathrm d \vec A = -\frac{U\cdot I}{2\pi r l} \cdot 2\pi r l = -U \cdot I$, gibt den ganzen Energieverlust pro Zeiteinheit an.

Die Aussage des Satzes von Poynting ist, dass eine Quelle, z.B. eine Batterie diesen Verlust kompensieren muss (also Arbeit leisten muss), damit der Strom weiterhin fließt.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 4., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4