Oberflächenintegral

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des Integralbegriffes auf ebenen oder gekrümmten Flächen. Integrationsgebiet $\mathcal F$ ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern eine zweidimensionale Menge im dreidimensionalen Raum $\mathbb R^3$. Für eine allgemeinere Darstellung im $\mathbb R^n$ mit $n \geq 2$ siehe: Integration auf Mannigfaltigkeiten.

Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflächenelements. Sie lauten

$\iint_{\mathcal F} f\, \mathrm d\sigma$ mit skalarer Funktion f und skalarem Oberflächenelement dσ sowie

$\iint_{\mathcal F} \vec{v}\cdot \mathrm d\vec{\sigma}$ mit vektorwertiger Funktion $\vec{v}$ und vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm d \vec{\sigma}$.

Begriffe und Definitionen

Bei der Integration über Flächen treten Parametrisierungen der Fläche an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflächenelemente an die Stelle der infinitesimalen (unendlich kleinen) Intervallbreite dx.

Parametrisierung

Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen (parametrisieren). Ist $B \subset \mathbb R ^2$ eine Menge, deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar, nicht unendlich lang und ferner $\varphi$ eine Abbildung von B in den $\mathbb R^3$ ist, so sagt man, $\varphi$ ist Parametrisierung der Fläche $\mathcal F$, wenn $\mathcal F = \varphi(B)$ ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass ein Großteil der Schwierigkeiten im Umgang mit Oberflächenintegralen mit der Parametrisierung zusammenhängt. Es ist a priori nicht klar, dass unterschiedliche Parametrisierungen den gleichen Wert für das Integral erzeugen. Ein Koordinatenwechsel für Oberflächenintegrale ist nicht trivial und ist mithin Motivation für die Verwendung von Differentialformen.

Allgemein lässt sich eine Fläche im $\mathbb{R}^{3}$ mit zwei Parametern u und v in folgender Form darstellen:

$\varphi :B\to \mathbb{R}^{3},\quad \left( u,v \right)\mapsto \vec{\varphi}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix} x\left( u,v \right) \\ y\left( u,v \right) \\ z\left( u,v \right) \\ \end{matrix} \right)$

Auf der Fläche $\vec{\varphi} \left( u,v \right)$ bilden die Kurvenscharen u = const bzw. v = const die Koordinatenlinien. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige Koordinaten $\left( u_0, v_0 \right)$.

Beispiel 1: Parameterdarstellung

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R lässt sich wie folgt parametrisieren: B ist das Rechteck $[0, \pi] \times [0, 2\pi[$ und

$\vec{\varphi}(u,v) = \begin{pmatrix} R \sin(u)\cos(v) \\ R \sin(u)\sin(v) \\ R \cos(u)\end{pmatrix}$.

Man rechnet leicht nach, dass diese Parametrisierung die Kugelgleichung x² + y² + z² = R² erfüllt (siehe auch Kugelkoordinaten). u ist hier der Polarwinkel (meist $\vartheta\,$ oder $\theta\,$) und v der Azimutwinkel (meist $\varphi\,$ oder $\phi\,$ bezeichnet).

Beispiel 2: Explizite Darstellung

Ist $f:B\to \mathbb{R},\ \left( x,y \right)\mapsto f\left( x,y \right)$ eine Funktion und die Fläche in der Form z = f(x,y) angegeben so sind x und y die beiden Parameter; die Parametrisierung der Fläche sieht also wie folgt aus:

$\vec{\varphi} \left( x,y \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ f\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right)$

Oberflächenelement

Wenn im eindimensionalen Fall das dx die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes dσ zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen (siehe auch: Krummlinige Koordinaten): Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man v konstant lässt und u minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt $\left( u_0, v_0 \right)$. Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale Tangentenvektoren ausdrücken (sei $\vec{\varphi}\left( u,v \right)$ die parametrische Form der Fläche):

$\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial u}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}u$   und   $\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial v}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}v$

Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die partiellen Ableitungen verwendet:

$\vec{\varphi}_{u}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial u}$   und   $\vec{\varphi}_{v}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial v}$

Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich Null ist.

$\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \neq 0$

Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.

Ist nun $\vec{\varphi}(u,v)$ eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

• Skalares Oberflächenelement  

$\mathrm d \sigma = \left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$

• Vektorielles Oberflächenelement  

$\mathrm d \vec{\sigma} = \hat{n} \ \mathrm d \sigma = \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$     mit dem Einheitsnormalenvektor des Flächenelements     $\hat{n} = \frac{\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v}{\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right|}$

Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.

In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man $\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v$ oder $\vec{\varphi}_v \times \vec{\varphi}_u = - \left( \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right)$ berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.

Beispiel 1: Parameterdarstellung

Die Oberfläche der Kugel mit Radius R kann, wie oben gezeigt, durch den Polarwinkel u und den Azimutwinkel v parametrisiert werden. Das Flächenelement ergibt sich aus folgender Rechnung:

$\begin{align} & \vec{\varphi}=R\left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{u}=R\left( \begin{matrix} \cos u\ \cos v \\ \cos u\ \sin v \\ -\sin u \\ \end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{v}=R\left( \begin{matrix} -\sin u\ \sin v \\ \sin u\ \cos v \\ 0 \\ \end{matrix} \right), \\ & \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right)=\pm R^{2}\sin u\left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right), \quad \left| \left| \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right) \right| \right|=R^{2}\sin u,\\ & \hat{n}=\pm \left( \begin{matrix} \sin u\ \cos v \\ \sin u\ \sin v \\ \cos u \\ \end{matrix} \right), \quad \mathrm{d}\vec{\sigma }=\hat{n}\, \mathrm{d}\sigma =\hat{n}\ R^{2}\sin u\ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\ \end{align}$

Beim Normalenvektor sind zwei Lösungen möglich ($\pm$), abhängig von der Reihenfolge von $\vec{\varphi}_{u}$ und $\vec{\varphi}_{v}$ im Kreuzprodukt. Typischerweise wählt man hier die positive Lösung, bei der $\hat n$ von der konvexen Kugeloberfläche weg zeigt (sog. „äußere Normale“).

Beispiel 2: Explizite Darstellung

Ist die Fläche in der Form z = f(x,y) angegeben, so drückt man das Flächenelement durch die Differentiale der Koordinaten x, y aus.

$\vec{\varphi}=\left(\begin{matrix}x\\ y\\ f(x,y)\end{matrix}\right),\quad\vec{\varphi}_{x}=\left(\begin{matrix}1\\ 0\\ f_{x}\end{matrix}\right),\quad\vec{\varphi}_{y}=\left(\begin{matrix}0\\ 1\\ f_{y}\end{matrix}\right)$

$\pm\left(\vec{\varphi}_{x}\times\vec{\varphi}_{y}\right)=\pm\left(\begin{matrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{matrix}\right),\quad\left|\left|\pm\left(\vec{\varphi}_{x}\times\vec{\varphi}_{y}\right)\right|\right|=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ ,\quad \hat{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\left(\begin{matrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{matrix}\right)$

Somit sind Flächenelement und vektorielles Flächenelement gleich:

$\mathrm{d}\sigma=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}\vec{\sigma}=\hat{n}\ \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\begin{pmatrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{pmatrix}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

Projektion auf Fläche mit bekanntem Flächenelement

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass eine Fläche A mit ihrem Flächenelement dA und zugehörigem Normalenvektor $\hat{n}_A$ bekannt ist. Z. B.

• xy-Ebene:

dA = dxdy   und   $\hat{n}_A=\hat{e}_z= \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$

• Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius ρ:

dA = ρdφdz   und   $\hat{n}_A=\hat{e}_\rho= \left( \begin{matrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$

• Kugeloberfläche mit Radius r:

$\mathrm{d}A=r^2\sin \vartheta\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi$   und   $\hat{n}_A=\hat{e}_r= \left( \begin{matrix} \sin \vartheta \ \cos \varphi \\ \sin \vartheta \ \sin \varphi \\ \cos \vartheta \\ \end{matrix} \right)$

Für eine weitere Fläche $\mathcal F$ mit Normalenvektor $\hat{n}_{\mathcal{F}}$ soll das Flächenelement dσ ermittelt werden. Die Fläche ist etwa durch g(x,y,z) = 0 gegeben und somit der Normalenvektor gleich $\hat{n}_{\mathcal{F}}=\nabla g/||\nabla g||$.

Wir projizieren nun $\mathcal F$ entlang von $\hat{n}_{A}$ auf A. Dann lassen sich die Flächenelemente mittels $\mathrm{d}A=\mathrm{d}\vec{A}\cdot\hat{n}_{A}=|\mathrm{d}\vec{\sigma}\cdot\hat{n}_{A}|=\mathrm{d}\sigma\,|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|$ für $\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}\neq 0$ verknüpfen:

$\mathrm{d}\sigma=\frac{\mathrm{d}A}{|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{||\nabla g||\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}$

Dabei darf jede Gerade entlang der Normalenvektoren $\hat{n}_{A}$ die Fläche $\mathcal F$ nur einmal schneiden. Sonst muss man die Fläche $\mathcal F$ aufteilen in kleinere Flächen $\mathcal F_1,\,\mathcal F_2\,\ldots$, deren Projektion dann eindeutig ist, oder eine andere Grundfläche A wählen.

Das vektorielle Flächenelement ist:

$\mathrm{d}\vec{\sigma}=\hat{n}_{\mathcal{F}}\frac{\mathrm{d}A}{|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{\nabla g}{||\nabla g||}\frac{||\nabla g||\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{\nabla g\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}$

Beispiel 1

Sei eine Fläche $\mathcal F$ der Form z = f(x,y) gegeben, so gilt g(x,y,z) = z − f(x,y) und damit:

$\nabla g=\begin{pmatrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{pmatrix}\ ,\quad||\nabla g||=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ ,\quad\hat{n}_{\mathcal{F}}=\frac{\nabla g}{||\nabla g||}=\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\begin{pmatrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{pmatrix}$

Diese Fläche wird nun in die xy-Ebene projiziert mit dA = dxdy und $\hat{n}_A=\hat{e}_z$; dabei ist

$\mathrm{d}\sigma=\frac{||\nabla g||\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{z}|}=\frac{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\hat{e}_z\cdot\hat{e}_z|}=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}\vec{\sigma}=\frac{\nabla g\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{z}|}=\begin{pmatrix}-f_{x}\\ -f_{y}\\ 1\end{pmatrix}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Beispiel 2

Gesucht ist das Flächenelement eines Rotationskörper um die z-Achse mit ρ = f(z), also g(ρ,φ,z) = ρ − f(z).

$\nabla g=\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z}\ ,\quad||\nabla g||=\sqrt{1+f_{z}^{2}}\ ,\quad\hat{n}_{\mathcal{F}}=\frac{\nabla g}{||\nabla g||}=\frac{\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z}}{\sqrt{1+f_{z}^{2}}}$

Durch Projektion auf die Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius ρ = f(z) erhält man das Flächenelement:

$\mathrm{d}\sigma=\frac{||\nabla g||\,\rho\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{z}|}=\frac{\sqrt{1+f_{z}^{2}}\,f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z}{|(\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z})\cdot\hat{e}_{\rho}|}=\sqrt{1+f_{z}^{2}}\,f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$

$\mathrm{d}\vec{\sigma}=(\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z})\, f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$

Die Integrale

Mit den Parametrisierungen und den Oberflächenelementen kann man nun die Oberflächenintegrale definieren. Diese mehrdimensionalen Integrale sind Lebesgue-Integrale, können aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfache Riemann-Integrale berechnet werden.

Das skalare Oberflächenintegral

Das skalare Oberflächenintegral einer skalaren Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ über eine Oberfläche $\mathcal F$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi : B \rightarrow \mathbb R^3$ mit $B \subset \mathbb R ^2$ ist definiert als

$\iint_{\mathcal F} f(\vec{x}) \, \mathrm d \sigma = \iint_{B} f\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \, ||\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v|| \,\, \mathrm d(u,v)$

Setzt man beispielsweise $f(\vec{x}) = 1$, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der Flächeninhalt der Oberfläche.

Das vektorielle Oberflächenintegral

Das vektorielle Oberflächenintegral einer vektorwertigen Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$ über eine Oberfläche $\mathcal F$ mit regulärer Parametrisierung $\varphi : B \rightarrow \mathbb R^3$ mit $B \subset \mathbb R ^2$ ist definiert als

$\iint_{\mathcal F} \vec{f}(\vec{x}) \cdot \mathrm d \vec{\sigma} = \iint_B \vec{f}\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \cdot (\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v) \,\, \mathrm d(u,v)=:\Phi_{\mathcal F}(\vec f)$.

Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den Fluss Φ eines Vektorfeldes $\vec{f}$ durch die Fläche $\mathcal F$: Die Größe $\vec{f} \cdot \mathrm d \vec{\sigma}$ gibt an, welchen Beitrag zum Gesamtfluss $\Phi_{\mathcal F}(\vec f)$ der infinitesimal-kleine Oberflächen-Vektor $\mathrm d \vec{\sigma}=\hat{n}\,\mathrm d\sigma$ liefert; nämlich wie viel von $\vec{f}$ durch das Oberflächenstück dσ fließt. Der Fluss ist maximal, wenn das Vektorfeld $\vec{f}$ parallel zur Flächennormale $\hat{n}$ steht, und null, wenn $\vec{f}$ senkrecht zu $\hat{n}$ steht, also tangential zur Oberfläche ist - dann "fließt" $\vec{f}$ entlang der Oberfläche, aber nicht durch sie hindurch.

Literatur

• G. Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2006, ISBN 978-3-8274-1688-9
• K. F. Riley, M. P. Hobson: Mathematical Methods for Physics and Engineering. 3. Auflage. Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-67971-8