Differenzierbar

(Nicht-)Differenzierbarkeit graphisch

Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.

Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, die ihrerseits ein mathematisches Teilgebiet der Analysis darstellt.

Definitionen

Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ aus der Menge der reellen Zahlen in sich selbst.

1. Definition: Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x₀ ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl a und eine Funktion g (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass:

$f(x_0 + h) = f(x_0) + a \cdot h + g(h)$

und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich $g(h)/h \to 0$ für $h \to 0$) Den Wert a bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x₀.

2. Definition: Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x₀ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

$\lim_{x \rightarrow x_0} \left( \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \right)$ existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x₀.

Beide Definitionen sind äquivalent.

Wenn eine Funktion f an einer Stelle x₀ differenzierbar ist, schreibt man für die Ableitung f'(x₀) oder auch $\left. \frac {\mathrm{d} f} {\mathrm{d}x} \right|_{x_0}$.

Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.

Verallgemeinerung auf komplexe Funktionen

Es sei $U \subset \mathbb{C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_0\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt z₀, falls der Grenzwert

$\lim_{{h \rightarrow 0}\atop{h+z_0 \in U}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$

existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als $\ f'(z_0)$.

Eine Funktion f heißt holomorph im Punkt z₀, falls eine Umgebung von z₀ existiert, in der f komplex differenzierbar ist.

Verallgemeinerung auf Funktionen in Banachräumen

Seien $E,\ F$ Banachräume und $D \subset E$ eine offene Menge. Eine Abbildung$f:D \subset E \rightarrow F$ heißt im Punkt $x \in D$ differenzierbar$:\Leftrightarrow$

$\exists A\in\mathfrak{L}[E,F],\ \exists r(h),\ \exists\delta>0:\forall h\in E,\ \Vert h\Vert \leq\delta:x+h\in D$

und

$\!\ f(x+h)=f(x)+A(h)+r(h)$

und

$\lim_{\Vert h\Vert \to 0}\frac{r(h)}{\Vert h\Vert}=0$

Erläuterungen

Grafisch lässt sich die Eigenschaft Differenzierbarkeit so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht, wie das Beispiel $f: x \mapsto |x|$ zeigt.

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen Funktion

Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die Ableitung selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die beliebig oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.

Beispiel: Ist $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\, \sin\left(\frac1{x}\right) & \mathrm{f\ddot{u}r} & x\neq 0 \\ 0& \mathrm{f\ddot{u}r} & x=0\end{matrix}\right.$ dann ist wegen $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=x\,\sin\left(\frac1{x}\right)\to 0$ für $x\to 0$

die Ableitung $f'(0)=0\,$. Und $\forall x\neq 0$ ist $f'(x)=2x\,\sin\left(\frac1{x}\right)-\,\cos\left(\frac1{x}\right)$, wobei $\lim_{x\to 0} f'(x)$ nicht existiert. Die Funktion f ist daher differenzierbar, jedoch nicht stetig differenzierbar.

Eine Trajektorie eines Wiener-Prozesses ist als Funktion $X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, t\mapsto X_t(\omega)$ stetig – aber fast sicher nirgends differenzierbar.

Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion $f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k\sin(2^kx)}{3^k}$ ist ebenfalls überall stetig, aber sogar nirgends differenzierbar.

Begriffserweiterungen

Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf

• mehrdimensionale Räume, in welchen partielle und totale Differenzierbarkeit unterschieden werden müssen.
• komplexe Räume, bei denen die reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt werden; hier liefert Differenzierbarkeit eine wesentlich stärkere Einschränkung einer Funktion
• gekrümmte Räume bzw. differenzierbare Mannigfaltigkeiten und komplexe Mannigfaltigkeiten.

Folgende Konzepte stellen eine Verallgemeinerung der Differenzierbarkeit dar:

• schwache Ableitungen
• Differenzierbarkeit im Sinne von Distributionen
• Fréchet-Ableitung
• Gâteaux-Ableitung