Spezielle Lorentztransformation

Die spezielle Lorentztransformation (auch Boost genannt) dient dazu, entsprechend der speziellen Relativitätstheorie von einem Koordinatensystem in ein anderes umzurechnen, wenn sich die beiden relativ zueinander mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen.

Das Koordinatensystem, in dem das zu beschreibende Objekt ruht, wird Ruhesystem genannt.

Die Operation $L(\vec v)$ wechselt in das Koordinatensystem, das sich relativ zum Ruhesystem mit der Geschwindigkeit $\vec v$ bewegt. Mit $L(-\vec v)$ kann vom bewegten in das Ruhesystem zurückgerechnet werden. (Die Notationen sind nicht ganz einheitlich, es kann also durchaus vorkommen, dass bei $\vec v$ ein anderes Vorzeichen auftritt!)

Für einen Boost in Richtung $\vec{e_1}$ lautet die Transformation in Matrixdarstellung $x'=L(v\vec e_1)x$ mit

$L(v\vec e_1)= \begin{pmatrix} \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\ -\sinh \lambda & \cosh \lambda & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $x=\begin{pmatrix} ct \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$,

wobei λ hier die Rapidität ist, die durch $\tanh \lambda = \beta = {v \over c}$ definiert ist, also cosh λ = γ und $\sinh\lambda=\gamma{v \over c}$ mit $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Allgemein ist der Boost (ins Ruhesystem eines sich mit der Geschwindigkeit $\vec v$ bewegenden Teilchens) durch

$L(\vec v) = \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{\vec{v}^T}{c}\gamma\\ -\frac{\vec{v}}{c}\gamma & I + \frac{\vec{v} \cdot \vec{v}^T}{v^2}(\gamma-1) \end{pmatrix}$

gegeben, wobei I die Einheitsmatrix ist. Man erhält diese Darstellung, wenn man den Vektor $\vec{x}$ in die senkrechte und parallele Komponente bezüglich des Geschwindigkeitsvektors $\vec{v}$ zerlegt: $\vec{x}=\vec{x}_\perp+\vec{x}_\|$. Dann bleibt die senkrechte Komponente $\vec{x}_\perp$ unverändert, während die parallele Komponente $\vec{x}_\|$ entsprechend der obigen Formel für die 1-Richtung transformiert:

$ct' = \gamma \left(ct - \frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{x}\right)$

$\vec{x}' = \vec{x}_\perp + \gamma (\vec{x}_\| - \vec{v} t)$.

Beachte: Die spezielle Lorentztransformation wechselt nur zwischen Koordinatensystemen. Sie ist keine Beschleunigung oder ähnliches! So gesehen ist die Bezeichnung Boost irreführend!

Eigenschaften

• Die Lorentztransformationen bezüglich einer festen Richtung für $\vec v$ bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe in Analogie zu den Drehungen um eine feste Achse, welche eine Untergruppe der Drehgruppe bilden.
• Die Gesamtheit der speziellen Lorentztransformationen bilden keine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Dies wird durch den Kommutator der Erzeugenden ersichtlich: $[K_i,K_j]=-\epsilon_{ijk} L_k$, wobei K_i die Erzeugenden der speziellen Lorentztransformation sind und L_k die der Drehgruppe. (Im Gegensatz dazu bilden die Drehungen eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.)
• Um die Untergruppe vollständig zu machen müssen die Drehungen dazugenommen werden. Zusammen ergeben sie dann die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe.